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1、数学期中考试仿真模拟试卷03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由集合，所以.故选：C.2在中，“”是“”的（ ）A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，充分性成立；，必要性成立；“”是“”的充要条件.故选：C.3在等比数列中，则数列的公比为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，则.故选：B.4 “青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不
2、断进步.假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（ ）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍.（参考数据：，）A. 82B. 84C. 86D. 88【答案】B【解析】设大约经过天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，可得，两边取对数得，又因为,又因为，所以.故选：B.5贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体是直棱柱，中间的几何体是
3、棱台，下面的几何体也是棱台，几何体的下底面与几何体的底面是全等的六边形，几何体的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体、的高之比分别为，则几何体、的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，则，所以故选：D 6中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心【答案】A【解析】设，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，则，则，设，则，即，即点轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A
4、.7在ABC中，则这个三角形一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】由余弦定理可得：，代入中，得，等式两边同乘得：，移项合并得：，整理得：，即，可得或，则三角形为等腰三角形或直角三角形，故选：D.8已知函数，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为，为偶函数，所以，当时，所以在上单调递增，易知，对于与，同时取对数可得与，构造函数，则，令可得，令可得，故在上单调递增，在上单调递减，即，化简得，又在上单调递增，故，即得，因为函数在上单调递增，所以，即.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共
5、20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列命题中，真命题的是（ ）A. ，都有B. ，使得.C. 任意非零实数，都有D. 函数的最小值为2【答案】AB【解析】对于选项A，所以对，都有，故选项A正确；对于选项B，当时，故选项B正确；对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；对于选项D，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.故选：AB10已知在正四面体中，、分别是棱，的中点，则（ ）A. 平面B. C. 平面D. 、四点共面【答案】ABD【解析】把正四面体放到正方体里，画图为：对于A项，、分别为，的中点，又平面且平
6、面平面，故A正确对于B项，从正方体的角度上看易得，故B正确.对于D项，、分别是棱，的中点且且所以所以四边形是平行四边形，故、四点共面，所以D正确.对于C项，若平面成立，即平面又因为平面所以又因为、分别为，的中点，所以所以而为等边三角形，与矛盾，所以C不正确.故选：ABD11在中，则下列判断正确的是（ ）A. 的周长有最大值为21B. 的平分线长的最大值为C. 若，则边上的中线长为D. 若，则该三角形有两解【答案】ABD【解析】A选项，故，变形得到，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长有最大值为，A正确；B选项，如图，为三角形的角平分线，故，过点作于点，于点，则，设，则，又，所以，解得，由A选项
7、可知，又，故，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的平分线长的最大值为，B正确；C选项，若，则，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故边上中线长为，C错误；D选项，若，则，而，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD12若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数中是“柯西函数”的为（ ）A. （）B. （）C. D. 【答案】CD【解析】结合题意可知=，即，当且仅当即或时取得等号，即的最大值为0，故“柯西函数”为与过原点的直线至少有两个不同交点的函数.设，对于A，设，即在上单调递减，不符合题意，故A错误；对于B，设，即在上单
8、调递增，不符合题意，故B错误；对于C，设，令，即在上单调递增，在上单调递减，故当时，符合题意，故C正确；对于D，设，即在R上单调递减，而，故恒成立，故结合图象可得当时，有至少两个交点，符合题意，故D正确； 故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数满足：为偶函数；的图象过点；对任意的非零实数，.请写出一个满足上述条件的函数_.【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数满足：为偶函数；的图象过点；对任意的非零实数，所以满足三个条件.故答案为：（答案不唯一）.14.已知a0，b0，且，则的最小值是_【答案】4【解析】因为a0，b0，且，所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以
9、.故答案为：415.已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k_【答案】5【解析】如图，为和的图象，设两个交点为，因为，所以，因为，所以，结合图象可得，当时，即，当时，即，所以当时，取得最大值，即.故答案为：5.16已知平行四边形中，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是_.【答案】 #【解析】如图示：在平行四边形中，则 ,所以,则在三棱锥中，故可将三棱锥中补成一个长方体，如图示：则，故，由题意可知三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，设球的半径为r,则，故外接球体积为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17从；三
10、个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.已知集合_，集合.（1）当时，求；（2）若，设命题，命题，且命题p是命题q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）条件选择见解析， （2）【解析】（1）当时，则，若选：令，解得，则，可得，所以；若选：令，即，且在上单调递增，则，解得，即，可得，所以；若选，令，则，等价于，解得，即，可得，所以.（2）令，则，因为，则，所以，又因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以A，由（1）可知：，则，解得，且当，所以实数m的取值范围为.18在数列中，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】（1）当时，当时，则，得，
11、两式相减得，所以，因为满足上式，所以（2）由（1）得，所以所以，所以，所以19如图，在三棱锥中，已知平面平面，为的中点（1）若，求直线与所成角的余弦值；（2）已知点在线段上，且，求二面角的大小【答案】（1）； （2）.【解析】（1）取中点，连结，如下所示：因为，为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面ABD，所以，因为，OC，平面，所以平面，又因为平面，所以中，为中点，所以，中，为中点，所以，以，为坐标轴，建立空间直角坐标系如下所示：则，所以，所以直线BD与AE所成角的余弦值为（2）设，则，则，设平面法向量为，则，所以，取，得到平面的一个法向量，又因为平面的一个法向量
12、为，所以，可得平面平面，所以二面角的大小为20为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员及获奖情况由组委会按规则另行确定，数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在区间内，记，以5为组距得出的分布如下：XY当时，若，其中，则.（1）求k的值；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的学生无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的学生评为一等奖；分数在内的学生评为二等奖，且通过附加赛每人有的概率提升为一等奖；分数在内的学生评为三等奖，且通过附加赛每人有的概率提升为二等奖（所有参加附加
13、赛的获奖学生均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.设参加附加赛的学生获奖提升情况互相独立.在所有最初参赛学生中随机选择一名学生A.求学生A最终能获得一等奖的概率；已知学生B在第一阶段获得二等奖，求学生A最终获奖等级不低于学生B最终获奖等级的概率.【答案】（1） （2）；【解析】（1）根据题意，由，解得.（2）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生A的分数属于区间的概率分别是：.故学生A最终获得一等奖的概率是我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j的概率，其中记“学生A最终获奖等级不低于学生B的最终获奖等级”为事件W，由事件的互斥性和独立性，可得：.21在；设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在中，角，的对边分别为，已知_，且.（1）若，求的面积；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）选的面积都为， （2）的取值范围为.【解析】（1）若选，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
