《高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 11 平面几何 （学生版+解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 11 平面几何 （学生版+解析版）（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【高中数学竞赛真题.强基计划真题考前适应性训练】专 题1 1平面几何真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1.（2 02 1 北京高三强基计划）在 锐 角 A B C 中，。为边B C 上一点，且 M,N分别为ADB,A OC 的外心，若 的面积为1,则 MND的面积的最小值为（）不对C历6D.前三个选项都2.（2 02 0北京高三校考强基计划）在 A 8 C 中,ZA=9 0o,A8 =l,AC=6 .点 P 满足P A P B P C-1-1-P A P B|P C|=0,则()A.Z A P C =1 2 0B.Z AP B=2 0 C.P B=2 P AD.P C =2 P
2、B3.（2 02 0北京高三强基计划）设等边.A B C 的边长为1,过点。作以A 8为直径的圆的切线交A 5的延长线于点。，A D B D,则 BCQ 的面积为（）A 6 应-361 6C 3 二-261 6R40-36D.-1 6D.前三个答案都不对4.（2 02 0北京高三强基计划）凸五边形A3 CD 石的对角线C E 分别与对角线8。和 A O交于点尸和 G.已知B F:F D =5:4,AG:Gr）=l:l,CF:FG:GE =2:2:3,S vOT和$.席分别为CFD 和二A B E 的面积，则 2a的值等于（）A.2 B.|C.D.前三个答案都1D o不对5.（2 02 1 北京
3、高三强基计划）已知。为的外心，A氏A C 与 O BC的外接圆分别交于点。，E.若 D E =Q4,则 NOB C=（）A.30B.45C.60D.以上答案都不对二、多选题6.（2020北京高三校考强基计划）在 非 等 边，A5C中，4 c =B C,点O,P分 别 为ABC的外心和内心，点。在 边BC上，且。贝I（）A.OPDP B.OP2=1的左右焦点为耳，招，点p在直线4/:x+2 岛-4逝=0上当/白尸入取最大值时,的值为.11.（2021全国高三竞赛）在ABC中，/A B C所对的旁切圆与边AC相 切 于 点。,N4CB所对的旁切圆与边A 8相切于点E.若|48|=1,|4 C|=2
4、,则VADE面积的最大值为.12.（2021江苏高三强基计划）如图，矩形A3CD中，E,尸分别是8C,CD上的点,13.（2022北京高三校考强基计划）已知凸四边形4 5 8 满足Z A B D =Z B D C =50,Z C A D =Z A C B =40,则符合题意且不相似的凸四边形A8CD的个数为.14.（2022北京高三校考强基计划）已 知 凸 四 边 形 满 足：AB=,BC=2,CD=4,DA=3,则 其 内 切 圆 半 径 取 值 范 围 为.15.（2019浙江校联考一模）已 知 ABC的面积等于1,若 B C=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=四、解答
5、题16.（2022贵州高二统考竞赛）已知半径为1 的圆上有2022个点，求证：至少存在一个凸337边形，它的面积小于0 1.0=3.142,5/3=1.732）17.（2019江西高三校联考竞赛）如图所示，B E、CF分别是锐角三角形AABC的两条高，以4 8 为直径的圆与直线C尸相交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q 四点共圆.18.（2021江苏 高三强基计划）已知:-、=2 大三二3,S四 边 形DECB=1 ,求SAACB的大小.A19.（2022江苏苏州高二统考竞赛）如图，/是 ABC的内心，N A 的外角平分线交8 c于点。，直 线 交.AB
6、C外接圆于点E,直线C7与直线OE交点为F,证明：AF/BE.20.（2022广西高二统考竞赛）如图，己知“、A、C、。四点共圆，四边形ABC 是平行四边形，F 是 AO与8G 的交点，H F=H D=H G .证明：AB=A F21.（2022福建高二统考竞赛）如图，G、G?分别是ABCS AC。的重心，AAGQ的外接圆与直线8 0 相交于点P,且NG|AG2=/AG2c=90。，求证：N A P D =N C P G、.22.（2019全国高三校联考竞赛）如图，点A、民 C、E 在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=jAB D E ,点 P 在该直线外，满足尸8=PD点 K、L分别在线段尸
7、员尸。上，满足 KC平分NBKE,LC平分NALDp证明：A、K、L、E四点共圆.23.（2020全国高三校联考竞赛）如图,在锐角 ABC中，”是BC边的中点点P在 ABC内，使得A P平分N B A C直线M P与AABP、ACP的外接圆分别相交于不同于点尸的两点。、E.证明：若 D E=M P,则8c=28P.24.（2021全国高三竞赛）如图，在 锐 角ABC中，已知点Q、E、尸分别是点A、B、C在边B C、C 4、A 8上的投影，4、VBD E的内心分别为、八，AC/,x BC/?的外心分别为。1、。2,证明：25.（2021全国高三竞赛）如图，A 3是。的一条弦，A 8的垂直平分线交
8、 O 于M、N两点、，交A B 于点。.尸 为。内一点，_/炉 外接圆交P N于 点 的 外 接 圆 交MP于点尸，且点M、P、E、F在直线A 8同侧.证明：E F V P N.MN26.（2021全国高三竞赛）如图，锐角；45C 的外接圆为，。是 A 在BC上的射影，假设A D=8 C,点 M 为。C 中点，/A D C 的角平分线与AC交于点N,上一点P 满足 BP/AC.直线ZW与 AM交于点F,直线尸尸与圆再交于点Q.直线AC与VPNQ的外接圆再交于点E.证明：NDQE=90。.27.（2021全国高三竞赛）如图，给定两个相交的圆。与O2,A、8 为（Q、O?的交点，一动直线经过B 与
9、。01交于点C,与 U 交于点。，且 B 在线段C 内，过 C 的O,的切线与过D的O2的切线相交于点M,连结AM交CD于点E,过点E作D M的平行线交A。于点K,求点K的轨迹.28.（2022浙江杭州高三学军中学校考竞赛）如图，给定外心为O的 锐 角A B C,令。、反尸分别为A&C 到对边的垂足产为4 3 c 的外接圆在8 和 C 处的切线的交点.一条经过P且垂直于E F的直线交直线AO于Q，R 为A在 EF上的投影.证明：DR/OQ.A29.（2021全国高三竞赛）如图，以4 5 为直径的圆上有C、。两点，AC、3。两点的中点为 F,直 线所与直线A。、8C 分别交于G、H,求证：以尸G
10、为直径的圆和以EH为直径的圆有一交点在C 上.H30.（2021浙江高三竞赛）如图，。是 A3C的外接圆，。是弧BC（不含A）上一点，S为弧BAC的 中 点 为 线 段 必 上一点，过 P 作 的 平 行 线 交 A 8于点E,过户作D C的平行线交AC于点F,过。作SD的平行线交弧BCC于点T.已知一。上的点。满足 NQ4P被 AT平分.证明：QE=QF.【高中数学竞赛真题强基计划真题考前适应性训练】专题1 1 平面几何真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1.（2021北京高三强基计划）在 锐 角 A B C 中,。为边8 c 上一点，且 M,N 分别为“ADB,A O C 的外
11、心，若 A B C 的面积为1,则脑V。的面积的最小值为（）43不对C.D.前三个选项都旦6【答案】A【分析】连结则可证ABCS/XDMN,故可求面积的最小值.【详解】连结如图.由于A。是圆M与圆N 的公共弦，于是M N 垂直平分A D,进而ZABD=-/AM D=2DMN,2同理，有 NACD=/AND=NMND,2因此 A B C s A O M N,进而 与MVO等号当A 3 是圆M 的直径，即A。2 B C 时取得，因此所求面积的最小值为4故选：A.2.（2 0 2 0 北京高三校考强基计划）在 4 5 C 中,Z A =9 0 o,A B =l,A C =G .点 P 满足P A P
12、 B P C-1-1-P A P B|P C|=0,则（)A.Z A P C =2 OB.Z AP B=1 2 OC.P B 2 P AD.|P C|=2 1 P B|【答案】A B C D【分析】根据题设条件可得尸为4 3 c 的费马点，如图，以A B,8 c 为边作等边三角形ABE,.B C D,可证故可判断各项的正误.【详解】根据题意，P A,P B,P C 方向上的单位向量之和为零向量,因此N A P B =N B P C =N C A 4 =1 2 0。，进而P为，A B C 的费马点.如图，以A B,8 C 为边作等边三角形则 N B P ）=N88=6 0。，故 8,P,C,。四
13、点共圆，故 N P B C =N PD C,故 Z P 8 A =Z A B,P A f l A 1故 尸 曲 必 8 4 3=一，P B BD 2同理，/P B C s/B E C n里=些=,P C BC 2因此所有选项均正确.故选：A B C D.3.（2 0 2 0 北京高三强基计划）设等边.A B C 的边长为1,过点C作以A3为直径的圆的切线交A8的延长线于点。，A ）8D,则 88的面积为（）6垃-3上 4 应-36-D.-1 6 1 63-2&C.D.前三个答案都不对1 6【答案】C【分析】利用射影定理可求。=必，故可求 放 的面积.4【详解】如图，设题中圆的圆心为。，8 与圆
14、。切于点7,连结CO,m,则OC=3,OT=L,于是0。=逅，2 2 4“1 m 1 1 6 3血-2 6从而 SA RCn=BD O C=-x-x=-.A8CO 2 2 4 2 72 16故选：C.4.（2020北京高三强基计划）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线8。和AO交于点尸和 G.已知5F:FO=5:4,AG:GD=1:1,CF:PG:GE=2:2:3,Svcm和S.E分别为和ABE的面积，则 兴 也 的 值 等 于（）A.白 B.|C.D.前三个答案都不对【答案】A【分析】如图，设AZ）与8E交于点，过A作AS/B。，交EB于T，可证明E：8=2:3、G:GZ?=1:2,故
15、可求题设中两个三角形的面积之比.【详解】如图，设4。与BE交于点”，过A作AS 5 D,交E B于T,则 SG=G F,设。尸=4a,则8尸=5，故,4 Q T,rTU 1 1故 AT=3 a,故=-,故”8=3777,而 ET=TB,BD HB 3 4设777=。，则3 =3匕，iET=b,故 EH:H B =2:3.而 殁=,，A H=-A D =-A G ,故 H G:G D =l:2.H D 3 4 2因 此 沁=2.故选：A.5.(2021北京高三强基计划)已知。为，的外心，A 8,A C与 OBC的外接圆分别交于点。，E.若D E =O A,则N O B C=()A.30 B.45
16、 C.60 D.以上答案都不对【答案】B 分析利用圆周角和圆心角的关系可求N O B C的大小.【详解】如图，连结5E.由于。E =OA=O3=OC,于是弧8 0分别与弧O E、弧0 c相等，进而可得弧8。与弧O E相等、弧。与弧C E相等，进而 N E B C =N O B D=90。Z A O B=90-NECB,2从而ZBEC=9O。，因此BC是O8C外接圆的直径，进而NO8C=45。.二、多选题6.（2020北京高三校考强基计划）在非等边/1B C 中，AC=B C,点 O,P 分 别 为 A B C的外心和内心，点。在边8 c 上，且。则（）A.O P D P B.O P D PC.DP/C D.B,O,P,。四点共圆【答案】CD【分析】可证B,O,P,。四点共圆，从而可得NP）3=N A C B,故D P/A C,故可得正确的选项.【详解】设C E IA fi于点E,则NEPB=90-N PBE=9 0 -ZCBA=90-N P B D =Z B D O ,2于是 8,O,P,。四点共圆，进而 N P D B =N P O B =2 N O C B =Z A C B,从而
