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1、理数招生统一考试模拟试题(1)姓名:年级:学号:题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选 择 题(共12题，共60分)评卷入得分1、已知数列 斯 中，=2,册+-%)=%+L n N*,若对于任意的a 2,2刀 W N”,Q n+1 2,不等式；7 7 T 2 t +函1恒成立，则实数七 的取值范围为()A(8,2 U 2,+oo)B(-8,-2 U L+oo)0(-oo,-l U 2,+oo)D.-2,2【考点】【答案】A【解析】根据题意，数列31 中，（册+1-即）=册+1,即八册+1-5 +1）册=1,则有%+1%1 1 17+1 n-n（n+1）-n八 十 1,则有+1+
2、1 1。村 1。兀 一2中=（；T 7T-J r）+G）+（。一。）+Q -。1）+。1=（占）+（告）+（占占+（1+2=3占 3 苔 2 f2+at-1）O 1 O 4.2 1 1即3-E 3,化为：2t2+a t-4 N0,设/（a）=2t?+必一4,可得f（2）2 0且,t+t-2 0 t 1 或t 0）即有 t 2 TNO ,即LN2或t K-l,可得t Z 2或Y-2,则实数t的取值范围是（-8 ,-2 U 2,+8）,故答案为：A.首先根据数列的递推关系由列项求和法整理数列的递推公式，再结合不等式恒成立的性质得到关于t的一元二次不等式组，分别解出t的取值范围即可。2、已知,为虚数
3、单位，为实数，复数z满足z+3 i=a+a i,若复数是纯虚数，则（）A.a=3B.。=0c.a#0D.0 ,|0 0,切 工2)的部分图象，可得不 丁 =4,77=T+l2).3 =2,根据S ($)+3=2，(-各 +3 =0,.3=看，故/(x)=25in(2x+，n将函数T O)的图象向左平移五个单位长度后，所得图象与函数y=9(%)的图象重合，故9.)=2s1n(2i+G+G)=2 s i n(2x+3),故答案为：A.根据题意由图像即可求出周期把数值代入周期的公式求出3 的值，再由图像代入点的坐标求出 1,0 。9 2018bBlogba (a-c)abD.(c b)a。(c【考点
4、】【答案】c【解析】根据对数函数的单调性可得的2018。/。92018正确，1,O v cv b v l,-ac0,.(a-c)ac(c-b)或 正确，所以答案是：c.【考点精析】解答此题的关键在于理解对数函数的单调区间的相关知识，掌握a变化对图象的影响:在第一象限内,a越大图象越靠低；在第四象限内,a越大图象越靠高.6、如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是()田组正视图A俯视图A.兀 +4 P+4B.27r+4也+4C 2 7 i +4 衣+2D 27r+2*+4【考点】【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示：=2x5irl2+
5、2 x x 2 x l +j/rx2xl4-(乖+在 +2)x 2-2 x 1=2?r+城+4,所以答案是:B.【考点精析】本题主要考查了由三视图求面积、体积的相关知识点，需要掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能正确解答此题.7、已知集合4=x|2-x0,=”（R 1,则（）A4 C l B=x|0%2Q A r B=xx 0cAU B=x|x 2D A J B=R【考点】【答案】D 解析 由题意得集合力=卜|2_灯0=|2,8 =、|（i）4 A S=x|0%2 AUB=R,所以答案是：D.8、执行如图所示的程序框图，若输出的八值 为 1 1,则判断框中的
6、条件可以是（）（开始一卜“1-西 中 1 2 5-1 卜出“7 结 束:A S v 1022?BS 2018?cS4095?【考点】【答案】c【解析】第 1 次执行循环体，$=3,应不满足输出的条件，n=2,第 2次执行循环体，S=7,应不满足输出的条件，n=3,第 3 次执行循环体，S=1 5,应不满足输出的条件，n=4,第 4次执行循环体，S=3 1,应不满足输出的条件，n=5,第 5次执行循环体，S=6 3,应不满足输出的条件，6,第 6 次执行循环体，S=1 2 7,应不满足输出的条件，n=7,第 7 次执行循环体，S=2 5 5,应不满足输出的条件，n=8,第 8次执行循环体，S=5
7、 1 1,应不满足输出的条件，n=9,第 9次执行循环体，S=1 0 2 3,应不满足输出的条件，n=1 0,第 1 0 次执行循环体，S=2 0 4 7,应不满足输出的条件，n=1 1 第 1 1 次执行循环体，S=4 0 9 5,应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S V 4 0 9 5?,所以答案是：C9、已 知 函 数 ）=+X。6 R 则下列结论正确的是（）A.V a e R/（x）在区间（0,+8）内单调递增B.3e R/（X）在区间内单调递减C.是偶函数D.是奇函数，且/（%）在区间内单调递增【考点】【答案】D【解析】当a 0 时，函数在区间（，而 I上单调递减，在 丽，+8
8、）内单调递增，故A,B 均错误，Va e R,f（T）=-f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，所以答案是：D.【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.1 110、已知抛物线C：y2=4 x 的焦点为F,过点作斜率为1 的直线 交抛物线C于P，Q 两点，则 西+炉 的值 为（）1A.27B.8C.1D.2【考点】【答案】C【解析】抛物线C：y2=4 x 的焦点为F（1,0）,过点F 作斜率为1 的直线1：y =、-1,可得fy2=4xy =x-l f 消去y 可得：X2
9、-6X+1 =0,可得孙+xQ=6,XPXQ=1,|PF|=盯 +1,IQF|=XQ+1,|PF|Q F|=XQ+灯 +1=6+1+1=8,则1 1 _|PF|+IQH=6+2 二西 十 两 一 IQFIIFP1-1+6+1-,故答案为：0.首先由抛物线的基本性质求出焦点坐标，再由直线的点斜式求出直线的方程，联立直线和抛物线的方程消元结合韦达定理求出，xP+xQ=6,xP xQ=1,利用抛物线的定义求出I PF|、|Q F|关于两个横坐标的关系式，代入已知的代数式求出结果即可。11、（1+%）（2 乃 4的展开式中X项的系数为（）A.-16B.16C.48D.-48【考点】【答案】A【解析】二
10、。一X）4展开式的通项公式为G+1=C4 2 4 T（r）.（1+%）（2T）4的展开式中x项的系数为 一 今2?+2 4=_ 叱所以答案是：A.12、我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾（a）和股M）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（C）来表示斜边，现已知该图中勾为3,股为4,若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）25A.4924B.4940.75D.7【考点】【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为a=4,短 直 角 边 为3,由 题 意5,.大方形的边长为，小方25 _ 24形的边长为，则大正方形的面积为4 9,小正方形的面积为25,.满足题意的概
11、率值为：1布=为，所以答案是：B.二、填 空 题（共4题，共20分）x+y=4,x 2y,13、若 实 数 满 足 X 2 1，贝ijz=x-3 y+1的 最 大 值 是 .【考点】1【答案】x+y=4,x 1,，对应的可行域如图:1-z线段4B,z=%-3 y+l化为：X=3X+1-,如果z最大，则直线在轴上的截距丁最小，作直1x+y =4 8 4线I：y=9”,平移直线至B点时，取得最大值，联立t x=2y,解得8(不，)，所以的最大值是：8 4 _ 1 1j-3 X J+1 =-j,故答案为一彳根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出最大值。
12、14、一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大时，其 外 接 球 的 体 积 为 .【考点】【答案】4廊24-8x _【解析】设该长方体底面边长为X米，由题意知其高是：=6-2 1,(O V X V 3),则长方体的体积V(x)=四6-2x),(),V(x)=12X-6X2=6X(2-X)由V(X)=O,得%=2,且当0 c x v 2时，/(x)0,U(x)单调递增；当2 V X V 3时，P(x)v 0,单调递减，.体积函数在处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6-2=2,.其外接球的直径L5-Ker.4rr/?3 后2氏=也上=2旦.述=在，.其外接球的体
13、积1=4V ,所以答案是【考点精析】本题主要考查了球内接多面体的相关知识点，需要掌握球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题.y2 x215、过双曲线葭一庐一 1(/,)的下焦点F l作y轴的垂线，交双曲线于4 B两点，若以4 8为直径的圆恰好过其上焦点？2,则 双 曲 线 的 离 心 率 为.【考点】【答案】1+业*2/L、【解析】过双曲线L7一1(,/)的下焦点F i作y轴的垂线，交双曲线于4,B两点，贝|2b2ft2 _以力口为直径的圆恰好过其上焦点尸2,可得：2c,.(2一。2一2砒=0,可得e 2-2 e-l=,解得e=l+潟，e=也
14、舍 去,故答案为.根据题意求出弦长的代数式，结合已知条件即可求出C2-a2-2 a c=0,由整体思想整理出关于e的方程解出其值即可。16、已知向量。=(1/)力=(3,1),若向量2。一”与。=(1,2)共线，则向量。在向量C放向上的投影为【考点】【答案】0 解析向量0=(1/),b=(3,1),向量2 a _ b=(-1 ,2A-1),.向量2a5与一 _ 1 _ _c=(1，2)共线，-1=-2,即/=一 小响 量a=(1，-2),向量a在向量C方*1 1 a*c 1x1-2 x,|a|-cosa,c=z-=/，-=0向上的投影为 出 一 十 2-,故答案为0.根据向量共线的坐标运算代入
15、数值求出 入 的 值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。三、解 答 题(共7题，共35分)17、如图，在三棱柱中，侧棱J底面4 8 c 且C l=2*C=2BCSC J.B C。是棱 的 中 点，点M在侧棱e g上运动.(1)当是棱的中点时，求证：8 平面M 4B；3(2)当直线AM与平面所成的角的正切值为2时，求二面角 MB1一01的余弦值【考点】【答案】(1)解:取 线 段 峭 的中点区连结DEEM.,.AD=DB,AE=EB1.DE/BB日1,-O.4又M为C Q的中点，.0 附 且C M =/4；.CM D E旦CM=DE .四边形C D E M是平行四边形.
16、CDE M又EM u平面平面4历“，.CD/平面M48(2)解：.C4CB,c Ci两两垂直，以C为原点，所在直线分别为轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz,如图，.三棱柱力8一 声中，C C-平面4BC,r/A M C即为直线4 M与平面所成的角3 3设4c =1)则由=2)得C M =231 3 一,C(0,0,0)l(l,0,0),B(0,l,0),B1(0fl,2),M(0,0,2).AM=(-1,0,办 4%=(-1,1,2)设平面 M B 1的一个法向量为八=(x,y,z),一3 AM n=_%+产=0,则 AB-n=-x +y+2z=0,令z=2,得x=3,y=-l,即n=(3,-1,2).又平面8 色 的 _ 个法向量为-*.CAn 3 啊G4=(1,0,0),./c ose4nl=b3婀又二面角A-MBI I的平面角为钝角，.二面角的余弦值为一k【解析】(1)根据题意作出辅助线，由中位线的性质即可得出四边形c D E M是平行四边形，即C D/EM结合线面平行的性质定理即可得I【考点】【答案】(1)解：.函数f(X)在区间，+8)内单调递增，./(X)=ex-。在
