《高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点A (-a,0)A(,0)的斜率乘积等于常数e2-1点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数e?-1 1时，轨迹为双曲线，如果e2-l?(1,0)时，轨迹为椭圆。圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关-b2的经典结论.A B 是 椭 圆 二+与=1 的不平行于对 称 轴 的 弦，MQo，%)为 A B的 中 点，则a b“M 2,af y2(2).7+Fi椭圆的方程为(a b 0),A.4 为椭圆的长轴顶点,P点是椭圆上异于长轴顶点
2、的任一点，则有K p 4 K/=一方(3).椭圆的方程为三+二=1(a b 0),8.8,为椭圆的短轴顶点,P点是椭圆上异a bb2于短轴顶点的任一点，则有KPB KPB=一 彳r ts rn2 z2 2(4).椭圆的方程为=+3=1 (a b 0),过原点的直线交椭阅A,B两点,P点是椭a b圆上异于A,B两点的任一点，则有KPAKPB=-耳a2.双曲线方程中有关b2a2的经典结论(D A B是双曲线0 2=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo，y 0)为A B的中点，则(2)双曲线的方程为二5=1 (a0,b 0),A,4为双曲线的实轴顶点,P点是双a b曲线上异于实轴顶点的任一点，则有KPA
3、K%=(3)双曲线的方程为二占=1 (a0,b 0),B.8,为双曲线的虚轴端点,P点是双a b-l曲线上异于虚轴端点的任一点，则有K因K%二72 2(4)双曲线的方程为*一2r=1 (a0,b 0),过原点的直线交双曲线于A B两 点,Pj 2点 是 双 曲 线 上 异 于 两 点 的 任 一 点，则有KPAKPB=典型例题：例1.(2019全国卷2理科数学第21题)已知点4-2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与B M的斜率之积为-L记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PELx轴，垂足为E,连结Q
4、E并延长交C于点G.(i)证明：PQ G是直角三角形；(i i)求PQ G面积的最大值.例 2.已知平行四边形A B C。内接于椭圆。：0+彳=1（。/?0）,且 AB,A 斜率之a h 积的范围为g）,则椭圆Q离心率的取值范围是（）例 3.设椭圆2=1（。匕 ）的左右顶点为A，B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设a b直线AP,B P 的斜率分别为m,n,则当-二1+2+3（1111川+I n|）取得最小值时,b 3mn）nm椭圆C的离心率为（）2 2例 4.已知椭圆C*+*l（a 0）的左,右焦点分别为 ,外，忸|=2 6，经过点月的直线（不与x 轴重合）与椭圆C相交于A,B两 点,A A
5、 B片的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为4，k2（勺*0,&力0 ）的两条直线分别与椭圆C相交于异于点。的M，N两点.若M ,N关于坐标原点对称，求勺右的值巩固提升:1.已知椭圆C：J J=(a b 0)的长轴长为4 ,A,8是其长轴顶点，M是3椭圆上异于A,8的动点，且女(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图，若动点R在直线x =6上，直线A R,以分别交椭圆。于P,。两点.请问:直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图，设点A,B的坐标分别为卜百,0),(百，)，直线A P，B P相交于点尸，且它们的斜率之积为.3(1)求点P的轨
6、迹方程；(2)设点尸的轨迹为C,点/、N是轨迹为C上不同于48的两点，且满足APUOM,BP/ION,求 证:A MON的面积为定值.3.已知椭圆C：+2r=1（。0）的短轴长为2石，离心率为乂士，圆E,的圆心a h 2在椭圆。上，半径为2,直线y=与直线y=&r为圆E的两条切线.（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：K*&2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.C:+片=1-4.如 图，在平面直角坐标系X。），中，椭 圆,/修（。人）的离心率为5,右准线的方程为彳=4,耳,K分别为椭圆c的左、右焦点，A,8分别为椭圆C的左、右顶点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过7亿0）。）作斜率
7、为左仗0）的直线/交椭圆C于M,N两 点（点M在点N的左侧），旦 F M H F】N ,设直线AM,8 N的斜率分别为人，&,求 勺 内的值5.已知椭圆C：+二=l（a 6 0）的 离 心 率 为 且，点M（2,l）在椭圆上，。为坐a h 2标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A、3为椭圆上不同的两点.设线段A 3的中点为点T，证明：直线A 3、O T的斜率之积为定值；若A、8两点满足O A+Q 8 =4 OM（/lw 0）,当A OW的面积最大时,求2的值.6.已知椭圆E：x2+9 y2-m2（m Q）,直线1不过原点。且不平行于坐标轴，1与E有两个交点A,B,线段A B的中点为M.
8、（1）若m=3,点K在椭圆E上，耳、工 分别为椭圆的两个焦点，求 附 K尺的范围；（2）证明：直线0M的斜率与1的斜率的乘积为定值；（3）若1过 点，了，射线0M与椭圆E交于点P,四边形O A P B能否为平行四边形？若能，求此时直线I斜率；若不能，说明理由.高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点A (-a,0)A(,0)的斜率乘积等于常数e2-1点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数e?-1 1时，轨迹为双曲线，如果e2-l?(1,0)时，轨迹为椭圆。圆锥曲线的第三定义的有关
9、结论：1.椭圆方程中有关-b2的经典结论.A B 是 椭 圆 二+与=1 的不平行于对 称 轴 的 弦，M Qo，%)为 A B的 中 点，则a b“M 2,af y2(2).7+Fi椭圆的方程为(a b 0),A.4为椭圆的长轴顶点,P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有K p 4 K/=一方(3).椭圆的方程为三+二=1(a b 0),8.8,为椭圆的短轴顶点,P 点是椭圆上异a bb2于短轴顶点的任一点，则有KPB KPB=一 彳r t s rn2 z2 2(4).椭圆的方程为=+3 =1 (a b 0),过原点的直线交椭阅A,B两点,P 点是椭a b圆上异于A,B两点的任一点，则有K
10、PAKPB=-耳a2.双曲线方程中有关b2a2的经典结论X2(1)AB是双曲线ja下y-=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo，y 0)为A B的中点，则k()M.&A8=，即K-b入0即 必一%x2双曲线的方程为。a,21 (a0,b 0),A.4为双曲线的实轴顶点,P点是双b2曲线上异于实轴顶点的任一点，则有KMK%=7双曲线的方程为。Ya=1(a0,b0),8,8，为双曲线的虚轴端点,P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有K%K =ra(4)双曲线的方程为二一与=1(a0,b 0),过原点的直线交双曲线于A,8两 点,Pa bb1点是双曲线上异于A 8两点的任一点，则有K%KM=/典型例题
11、：例1.(2019全国卷2理科数学第21题)已知点A(-2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之 积 为.记M的轨迹为曲线C.2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE_Lx轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明：PQ G是直角三角形；(i i)求PQ G面积的最大值.2 2【解析】(1)由题设 得 匚=4，化简 得 二+匕=1(|*快2),所以C为中心在x+2 x-2 2 4 2坐标原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.（2）（i）设 宜 线P Q的 斜 率 为k,则 其 方 程 为 丁 =去（
12、0）.由 y k xx2 y2 得+=114 2x =2J 1+2r.2k记”,则P（,成）,Q（滋）,E（,0）.于是直线QG的斜率为 一，方程为J 1+2女 22y =|(X-W)由，k,、y=-(x-u),2,得(2 +1 2)一一2成 2 x+%2“2 8 =0 -1-14 2设6（%,%），则-和%是方程的解，故=必然二2）,由此得y G=2+k 2+kuk3.-uk 从而直线P G的斜率为二勺-=.所以P Q L P G,即 P Q G是直角三角形.（3公+2）k-U2+k2(ii)由(i)得|P Q|=2 J1+),|P G|=+1,所以P Q G 的面积“2+kS=；|P Q
13、II P G|=8%(1+公)+2)（1 +2公）（2 +公）1+2（卜 女）2设t=k+L,则由k 0得也2,当且仅当k=l时取等号.k因为5=亏在（2,+8）单调递减，所以当t=2,即k=l时，5取得最大值，最大值为3.1+2 *9因此，p a G面积的最大值为3.92 2例2.已知平行四边形A B C O内接于椭圆。：=+=1（。匕0）,且AB,A D斜率之a b积的范围为（一5,一|）,则椭圆。离心率的取值范围是（）【答案】Ah2【解析】由圆锥曲线的经典结论得：%=二，a3-4b2 2r 一一a1 32 b23 a23一4例3.设椭圆C：0 +5 =1（。匕0）的左右顶点为A,B.P是
14、椭圆上不同于A,B的一点，设a b直线AP,BP的斜率分别为m,n,则当13-|+3（l n|/n|+l n|）取得最小值时,b I 3 mn J rm椭圆C的离心率为（）【答案】D 解析 设A（。,0）,B（,0）,产（方,点P在双曲线上，得C：与+&=1（。0）,a b2%=-b-（-az-x：）,所r r以i.m=y0，m =y（,化.间如?二 ra/+a x-a a+3|-|+6 1n0所以设，=1,构 造 函 数=2产+37 +6 ，求导可以得到:b3t=2时，函数取得最小值=/（2）,-=2,e=Jb 22 2例 4.已知椭圆C:+A =l(a b 0)的左，右焦点分别为耳，不 忸
15、 周=2 6，经过点 的直线(不与X轴重合)与椭圆C 相交于A，B两点,A A B 6 的周长为8.(2)求椭圆C 的方程;(2)经过椭圆C 上的一点。作斜率为勺，心(人*。，&R 0)的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点。的M,N 两点.若M,N 关于坐标原点对称，求勺质的值【答案】（1）+/=1 （2）41 2 4【解析】解:.忻 用=2陋，:.c=B.ABg 的周长为 8,4a=8,a=2.a2=b2+c21 .,./?=1.椭圆C 的方程为二+9=1.4 设 Q(X o，%).二 N(f f)，x士 占,%*a +y；=1 a +y；=1-7 2两式相减,得手 奇+犬-乂=0.勺*占，
16、片乂，二 2 i A=一；百 一%j 百 十/4与一毛一苔 一 毛 4巩固提升:1.已知椭圆C：0+=1（。人0）的长轴长为4,A,B是其长轴顶点，M是a b3椭圆上异于A,8的动点，且女“小 女 加8=.4（1）求椭圆C的标准方程;（2）如图，若动点H在直线 =6上，直线AR,旗 分 别 交椭圆。于P,。两点.请问:直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知2。=4则。=2,2设”（%,%）,A（-a,O）,B（a,O）,则3.褊=-一=，X。ci X。+a o由M +鸟=1,则 为2=从1 1一 二1,则七屋勺=一匕=一3,则。2=3,由此可得a b I J a 42 2椭圆C的标准方程为+=1.4 3（2）设R（6,m）,则直线AP的方程为丁 =3（龙一2）；则直线8 Q的方程为y =（x+2）4 8m/小y=(x +2)联立得 消去y得:三+二=14 3(nr+4 8)x2+4/n2x+4(/n2-4 8)=0 ,则4（/2_ 4 8）2（4 8 描 94 m.XL d2即代入直线 时 的 方程得坨=中 故 2(4 8 ，/)m2+4 8
