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1、高中奥赛题数学第 36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决赛第一天的试题（共 3 道题目，竞赛时间：2020年 11月 2 4 日上午8：0012：30）2020年中国数学奥林匹克（CMO）第一天试题（nl）是复数数列，奇数项为实数，偶数项为纯虚数，且|Z*Z=2*,记4=k i +z 2 T-F z l,求正整数n的最小值，使得对任意整数由，a?,，a,bl f a.2，b.存在整数乐的，4,满足以下两个条件（1）B i e AC)、Z 为其外接园上劣弧灰 中点.K 为A 的对径点.过。作 ODAM 交AB T D,交CA的延长线J-E,直线BM 交直线CK 1 j R 直线C M 交直线BK
2、J-Q.目 五 正：OPB+Z.OEB=Z.OQC+AODC.5.P 是 个凸多面体,满足以卜两个性质:(i)P的每一个顶点恰属于3 个不同的面:(ii)对任意k23,P I k 边形面都恰有偶数个.有一只蛆蚊从某条棱的中点出发、沿棱爬行.走条闭合路径 L,经过L 上每一点恰好一次，最终回到出发点.L 将 P 的表面分为两部分.使得对任意k2 3.两部分中k 边形向的个数相等.求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等.6.设 N*表 示 正 整 数 集.求 所 有 的 函 数 使 得 对任意正整数x,y.均有f(/(x)+y)整除x+f(y).EO三、第 36届全国高中学生数学奥林匹克竞赛决
3、赛第一天的试题(共3道题目，竞赛时间：2020年 11月 2 4 日上午8：0012：3 0)参考答案(1)第一天第1 题参考答案20 20 4中 国 霰 华 奥 北 匹 克第-夫1.旧 岛 履 上 教 教 礼 存 教 映 为 灾 豢，倡教随为纯成教,出戏隹二超正塞叔k,IWKZKJ=2”.忆 =信1+区.1 +Z/cni fJ可前值.（2）米 /工“鱼星工可能值.做：隔=个（几=1 2）,我，b“R.Vk N+.|&b J=2*|,小4|=子 工 时 住 为 工 薨 教k,|赞 国 拜 卜 费=2 ,隈卜I轮卜岁=2.故，VM N+,|心|二 21 Hl Qj,I k l /W.可 被 公=
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10、,1）；C T+C D,Q）,T t,（4）二（。，o,I,I）；QT s。），T s Q）,7s C J）Z 7s（4）=C i z L L I）.因 此Cz G=加3十科,J-C产 侬+祝 ，Q-C产 网 十 册4,C s -C i =x（+M x-t t w 4,乎&C 3 一 以 二%-九。-G =。，C s -C x H i +ta,1 Q=T Hj 7 Hi,C s C b =仇t+血3 ,C s -a=加 十 旭.为d，由 不 知 置S M吐金-G=o,Ql，2,.5.砰C=a二=C s.近 目GA .C s不 克 金 相 见 加 扁!妆5 2 M.T面 好 几 令 两 封Mr必
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13、 国 数 年 负 林 匹 克学 二 天4/七 龟4A B C (A B A C),M为 其 祢 技 困J L为 孤 前 的中 点，k*A钠K板 点.比0傕0 D 1 A友A B牙D,友C A的 延长 伊 于E支 第B M左 史 线C k子P,支 脩C M左玄铎B K J Q.去证 4 P B +N(O=N O&C+/O D C.证网也O B,O C.N O D B=N X A A B=B C,N O R D =Z O A B =N kA B =N K C B.O B D s A pC B.今署暇逢.又由 N C B D=N O B C+/O B D=Z O C B +P C B=Z P C O
14、.可春 B C D s c po 今 N O pC N D C B.同 理 可 由A O C ES/QBC今4 B C E sa B 0/O G B 二 N E B C.于 旻/O P B 十/O E B ;N B pC-N O pC +/O E B =Z D O B-N D C R+N O E R =Z Q P C +Z O B C +Z O E B =/O D C+/O C B +N 0 E B N 0 D C +Z C O E -Z C B E =Z O P C +N B Q C-/B&O=Z O D C +zoa c.(2)第二天第5 题参考答案5.P是-4凸多面心，满 员K下两个他队
15、Ci)F案 等-4 丁良点佑届于3个不同曲面，(ii)启 隹 态k73,P中k正 书 面 寿 帕 方 得 去 土本-R蝇 蚁 余 核 曲 上 也 也 殳，舟 棱 爬 行，更-祭闭令 路 在L兹 比 JL4一支怡妗一次,录会回到出发点工超P的表面为为两割匀，住 狷 附 隹 条k/3,两耕切中k比用面幽4数 棚 筝 言 端 奴 友 更 有 中 白 左 莪 俞 右 右 垃 珈 久亲 相 象iL钢 设L幡P附表面会底曲两耕令为M.A/._ _ -/先观雇阳台的堀:乙可人/也 二、蚂 奴 左-4路口左转国如过倒及点竹府孑羊个君奇Q不挞设知2 t掰两偌也书面.茗下一彳路口无黄，财此火的住址的孜点精尾子小中
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