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1、奥数题型与解题思路4160讲41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。解 去分母，两边同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根
2、，是原方程的增根，必须舍去。解 方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式方程，得x=-5，检验：当x=-5时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=350，所以，-5是原方程的根。解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x2）2-16（x+2）2解这个整式方程，得x=-2。检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。42、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。例如：864+1，236=
3、1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 5892843、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫
4、做圆柱的母线。【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AC。其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。例如图
5、1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。原来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。44、几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例2 直线m上有4个点，直线
6、n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线n上有5个点，这5点共可以组成43+21=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成410=40（个）三角形。同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成65=30（个）三角形。所以，一共可以组成70个三角形。【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同
7、样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。底边长为2，高为3的三角形有244=32（个）；高为2，底边长为3的三角形有82=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。例2 图5.48中共有_个三角形。（现代小学数学）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。所以，一共有15个三角形。例3 图5.49中共有_个正方形。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各
8、含有多少个正方形。图5.50（1）中，正方形个数是635241=32（个）；图5.50（2）中，正方形个数是44+33+2211=30（个）如果把图5.49中的图形，分成56和411两个长方形，则：56的长方形中共有正方形56+45342312=70（个）；411的长方形中共有正方形411+310+2918=100（个）。两个长方形相交部分45的长方形中含有正方形45+342312=40（个）。所以，原图中共有正方形70100-40=130（个）。例4 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等如图5.51（1），每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共
9、可围成_个正方形。（小学生科普报奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。所以，一共可围成正方形20个。【立体图形的计数】例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共56=30（个）。所以，总共有50个黑色正
10、方体露在表面上。例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成_个小正方体。（北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题）讲析：若分成的小正方体，则共可分成27个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个222的正方体（如图5.53），余下的都只能分成111的正方体了。所以，最少可分成20个小正方体。45、几何体侧面展开【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对
11、边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图1.41，将正六棱柱ABCDEFA払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。例如图1.42，将正三棱锥SABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇
12、形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。例如图1.44，将正三棱台ABCA払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，
13、其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了46、几何公式【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。【立体图形计算公式】(1)柱体公式。（2）锥体公式。正n棱锥（如图113）的公式：圆锥的公式（圆锥如图114所示）：（3）棱台、圆台公式。正n棱台（如图115）的公式：圆台（如图116）的公式：（4）球的计算公式。球的图形如图117所示。S表=4r2；附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。例如，求4500的约数个数。解 4500=2232534500的约数个数是（2+1）（2+1）（3+1）=36（个）。【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：例如 求1992的所有约数的和。解 S（1992）=S（2331831）=5040【分数拆项公式】
