《(2019)高中数学必修第二册《第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理》学案-人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(2019)高中数学必修第二册《第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理》学案-人教A版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理考点学习目标核心素养直线与平面所成的角了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的性质理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理 问题导学预习教材P151P155的内容，思考以下问题：1直线与平面所成的角的定义是什么？2直线与平面所成的角的范围是什么？3直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4如何求直线到平面的距离？5如何求两个平行平面间的距离？1直线与平面所成的角(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这
2、个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0.(3)范围：直线与平面所成的角的取值范围是090名师点拨 把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段2直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂
3、直线线平行作平行线名师点拨 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据3. 线面距与面面距(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线l与平面所成的角为60，且m，则直线l与m所成的角也是60.()(2)若直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.()(3)若直线a平面，
4、直线a直线b，则直线b平面.()答案：(1)(2)(3) 下列命题：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直其中正确的个数是()A0B1C2 D3答案：D 若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A有且只有一个B可能存在也可能不存在C有无数多个D一定不存在解析：选B.当ab时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在 在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是_；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是_；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的
5、角是_解析：(1)由已知知A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，A1BA45.(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为A1BO，因为A1OA1B，所以A1BO30.(3)因为A1BAB1，A1BB1C1，又因为AB1B1C1B1，所以A1B平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90.答案：(1)45(2)30(3)90直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值【解】取AA1的中点M，连接
6、EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE 3.于是在RtBEM中，sinEBM，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. 如图所示，在RtBMC 中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，MBC60，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA平面ABC，所以MC在平面CAB内的射影为A
7、C.所以MCA即为直线MC与平面CAB所成的角又因为在RtMBC中，BM5，MBC60，所以MCBMsinMBC5sin 605.在RtMAB中，MA3.在RtMAC中，sinMCA.即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为.线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1CB1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB1D1，MNC1D，求证：MNA1C.【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1.又因为CC1A1C1C1，所以B1D
8、1平面A1C1C.又因为A1C平面A1C1C，所以B1D1A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DAB1，因为MNC1D，所以MNAB1.又因为MNB1D1，AB1B1D1B1，所以MN平面AB1D1.由(1)知A1CB1D1.同理可得A1CAB1.又因为AB1B1D1B1，所以A1C平面AB1D1.所以A1CMN. (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质(2)直线与平面垂直的其他性质如果
9、一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；若l于A，APl，则AP；垂直于同一条直线的两个平面平行；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.(2)如图，连接ON，在
10、A1DC中，A1OOD，A1NNC，所以ONCD.因为CDAB，所以ONAM.又因为MNOA，所以四边形AMNO为平行四边形所以ONAM.因为ONAB，所以AMAB.所以M是AB的中点求点到平面的距离如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离【解】(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点又点E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)VAPABADAB.由V，
11、可得AB.作AHPB于点H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离因为PB，所以AH，所以点A到平面PBC的距离为.从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解 已知在ABC中，ACBC1，AB.S是 ABC所在平面外一点，SASB2，SC，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离解：法一：如图，连接PA，PB，易知SAAC，BCAC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，E
12、F，PF，则EFBC，PFSA.所以EFAC，PFAC.因为PFEFF，所以AC平面PEF，所以PEAC.易证SACSBC，所以PAPB.又E是AB的中点，所以PEAB.因为ABACA，所以PE平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离因为P是SC的中点，所以在RtAPE中，APSC，AEAB，所以PE，即点P到平面ABC的距离为.法二：如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.因为ACBC1，AB，所以ACBC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.易知ACSA，又ACAD，SAADA，所以AC平面SDA，所以ACSD.易知BCSB，又BCBD，SBBDB，所
13、以BC平面SDB，所以BCSD.因为BCACC，所以SD平面ADBC.所以SD的长即点S到平面ABC的距离，在RtSAD中，易得SD.因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为SD.1若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍，则AB与平面所成角的大小为()A60B45C30 D90解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO即是斜线段与平面所成的角又AB2BO，所以cosABO，所以ABO60.2已知PA矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是()APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析：选C.PA平面ABCDPABD，D正确；BC平面PABBCPB.故A正确；同理B正确；C不正确3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A1条 B2条C3条 D无数条解析：选A.显然D
