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1、6.2.1向量的加法运算知识点一向量的加法(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量加法的运算法则知识点二向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|ab|a|b|.当a，b同向时有|ab|a|b|；当a，b反向时有|ab|a|b|.知识点三向量加法的运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：abc(ab)ca(bc)1准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的如图所示：(平行四边形法则)，又因为，所以(三角形法则)(
2、3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同2向量ab与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，ab的方向与a，b的方向都不相同，且|ab|a|b|.(2)当a与b同向时，ab，a，b的方向相同，且|ab|a|b|.(3)当a与b反向时，若|a|b|，则ab的方向与a的方向相同，且|ab|a|b|.若|a|b|，则ab的方向与b的方向相同，且|ab|b|a|.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加(
3、)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线()答案(1)(2)(3)2做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是()A. B.C. D.(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|等于()A1 B2C. D.(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的利用三角形法则或平行四边形法则作图解法一(三角形法则)：如图所示，作a，b，则ab，再作c，则(ab)c，即abc.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图所示在平面内任取一点O，作
4、a，b，以，为邻边作OADB，则对角线ab，再作c，以，为邻边作OCED.则abc.题型一 向量的三角形和平行四边形法则例1如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和解如下图中(1)，(2)所示，首先作a，然后作b，则ab.(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点以这两个已知向量为邻边作平行四边形平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和(1)如图，已知a，b，
5、求作ab；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量abc.解(1)如图，所示首先作a，然后作b，则ab.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，接着作向量b，则得向量ab；然后作向量c，则向量(ab)cabc即为所求作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量a，b，c，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则ab.再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则abc即为所求. 题型二 向量的加法运算例2如图，在ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)；(2)；(3).解(1).(2)().(3).解决向量加法运算时应关注
6、的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简或计算：(1)；(2).解(1)().(2)()()0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，.求证：四边形ABCD是平行四边形证明，又，ABDC且ABDC，四边形ABCD为平行四边形怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反
7、向延长线及延长线上取点E，F，使BEDF，求证：四边形AECF是平行四边形证明，又，即AE与FC平行且相等四边形AECF是平行四边形.题型四 向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向解如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，由，易知|10，又OBC90，所以|20，所以BOC30，所以AOC120，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120.应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35的方向行驶800 km到达B地
8、接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和解如图所示，设，分别表示救护车从A地按北偏东35方向行驶800 km，从B地按南偏东55的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|；两次行驶的位移的和指的是.依题意，有|8008001600(km)又35，55，ABC355590.所以|800(km)其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.1下列等式错误的是()Aa00aaB.0C.0D.答案B解析对于A，根据0加任何向量都等于
9、原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得，故原式等于0.故B错误；对于C，可知与共线且方向相反，所以0，所以C正确；对于D，可知0，又0，可知D正确故选B.2设P是ABC所在平面内一点，且，则()A.0 B.0C.0 D.0答案C解析因为P是ABC所在平面内一点，所以P是AC的中点，所以0.3若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|ab|_，ab的方向是_答案8 km北偏东45解析如图所示，设a，b，则ab，且ABC为等腰直角三角形则|8，BAC45.4在菱形ABCD中，DAB60，|A|1，则|_.答案1解析由题意知ABD为等边三角形，|1.5如图，在正六边形OABCDE中，a，b，试用向量a，b将，表示出来解设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得ab.，ab.在AOB中，根据向量加法的三角形法则得aab.同理，在OBC中，aabb，在OED中，bab.
