《第08讲 空间向量的应用--距离问题（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第08讲 空间向量的应用--距离问题（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第08讲 空间向量的应用-距离问题1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.利用空间向量法求距离问题(1)点A、B间的距离AB=AB=x1x22+y1y22.(2)点Q到直线l 距离若Q为直线l外的一点， P在直线上，a为直线l的方向向量， b=PQ，则点Q到直线l距离为d=1a ab2ab2.PS 公式推导 如图，d=bsin=b1cos2=b1abab2=1a ab2ab2 .(3)点Q到平面的距离若点Q为平面外一点，点M为平面内任一点，平面
2、的法向量为n，则Q到平面的距离就等于MQ在法向量 n方向上的投影的绝对值，即d =n MQn .PS 公式推导如图，d=MQsin=MQcos n , MQ=MQn MQnMQ =n MQn .(4)直线 a平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【题型 1点到点的距离 】【典题】（1）已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(1 , 1 , 2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A , B两
3、点的最短距离是 . 【答案】 342 【解析】点B是xoy平面内的直线x+y=1上的动点，可设点B(m,1m,0)由空间两点之间的距离公式，得|AB|=(1m)2+1(1m)2+(20)2=2m22m+9令t=2m22m+9=2m122+172当m=12时，t的最小值为172当m=12时，|AB|的最小值为172=342，即A、B两点的最短距离是342.（2）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP平面MBD1(1)当点M与点C重合时，线段AP的长度为 ；(2)线段AP长度的最小值为 【解析】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴
4、，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P(a , b , 1)，当点M与C重合时，M(0 , 1 , 0)，B(1 , 1 , 0)，D1(0 , 0 , 1)，A(1 , 0 , 0)AP=(a1 , b , 1)，BD1=(1 , 1 , 1)，MD1=(0 , 1 , 1)，AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0APMD1=b+1=0，解得a=1，b=1，AP=(0 , 1 , 1)，线段AP的长度为|AP|=0+1+1=2(2)设CM=t0 , 1，则M(0 , 1 , t)，B(1 , 1 , 0)，D1(0 , 0 , 1)，AP=(a1 , b , 1)，BD1=(1 , 1
5、 , 1)，MD1=(0 , 1 , 1t)，AP平面MBD1APBD1=1ab+1=0APMD1=b+1t=0，解得a=1+t，b=1t，AP=(t , 1t , 1)，|AP|=t2+(1t)2+1=2(t12)2+32，当t=12，即M是CC1中点时，线段AP长度取最小值为62【点拨】 线段AP的长度为|AP|，利用空间向量法使得几何问题“代数化”，较几何法更容易处理这动点问题； 本题的变化源头是“M的位置”，在第二问求AP长度的最小值，在引入参数中设CM=t，较为合理.巩固练习 已知M为z轴上一点，且点M到点A(1 , 0 , 1)与点(1 , 3 , 2)的距离相等，则点M的坐标为
6、. 【答案】(0 , 0 , 6) 【解析】M为z轴上一点，设M(0,0,t)，点M到点A(1,0,1)与点(1,3,2)的距离相等，(0+1)2+(00)2+(t1)2=(01)2+(0+3)2+(t2)2，解得t=6，点M的坐标为M(0,0,6)【题型 2 点到线的距离】【典题】 P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到BD的距离为 【解析】方法一 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，BD=9+16=5，过A作AEBD，交BD于E，连结PE， PA平面ABCD，PABD，又 AEBD BD平面PAE， PEBD，即PE是点P到BD的距离
7、，12ABAD=12BDAE，AE=ABADBD=125，PE=PA2+E2=1+14425=135，点P到BD的距离为135方法二 依题意可知，PA、AB、AD三线两两垂直，如图建立空间直角坐标系P(0 , 0 , 1)，B(3 , 0 , 0)，D(0 , 4 , 0)，BP=3 , 0 , 1，BD=(3 , 4 , 0) , 点P到BD的距离为d=1BD BDBP2BDBP2=1525081=135.【点拨】 方法一是几何法，找到点P到BD的距离PE;方法二是向量法，利用点到直线距离公式d=1BD BDBP2BDBP2 (*)； 向量法中的公式(*)有些复杂，不建议直接使用，还不如使用
8、其推导方法求点P到直线BD的距离(1) 求出直线BD的方向向量BD=(3 , 4 , 0)；(2) 在直线BD上找一点B，求出其与点P的向量BP=3 , 0 , 1；(3) 求两向量夹角余弦值，cos=BPBD|BP|BD|=9510；(4) 求点P到BD的距离，d=BP1cos2=10181250=135.巩固练习1. 已知直线l的方向向量为a=(1 , 0 , 1)，点A(1 , 2 , 1)在l上，则点P(2 , 1 , 2)到l的距离为 . 【答案】 17 【解析】根据题意，得PA=(1,3,3)，a=(1,0,1)，cosa,PA=1+03219=219，sina,PA=1719；又
9、|PA|=19，点P(2,1,2)到直线l的距离为|PA|sina,PA=191719=172. 已知直线l过定点A(2 , 3 , 1)，且n=(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为 . 【答案】 322 【解析】PA=(2，0，1)，故|PA|=5，cosPA,n=PAn|PA|n|=152=1010，设直线PA与直线l所成的角为，则cos=|cosPA,n|=1010，故sin=31010，点P(4，3，2)到直线l的距离为|PA|sin=531010=322【题型3 】点到面的距离【典题】 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，ABC=60，PA平
10、面ABCD，AB=2，PA=233，E为BC中点，F在棱PD上，AFPD，点B到平面AEF的距离为 【解析】底面ABCD为菱形，ABC=60，E为BC中点，AEAD，又PA平面ABCD，PAAD，PAAE，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A(0 , 0 , 0)，B(3 , 1 , 0)，E(3 , 0 , 0)，P(0 , 0 , 233)，D(0 , 2 , 0)，AB=(3 , 1 , 0)，AE=(3 , 0 , 0)， 在RtPAD中，易得D=30，AF=AD2=1，过点F作FHAD交AD于H， 易得1=30，AH=12 , FH=32， F0 ,
11、 12 , 32， AF=0 , 12 , 32，设平面AEF的法向量n=(x , y , z)，则nAE=3x=0nAF=12y+32z=0，取y=3，得n=(0 , 3 , 1)，点B到平面AEF的距离为：d=|nAB|n|=32【点拨】 求点F的坐标，解题中几何法较易求得，这需要审题中注意各量之间的关系；也可以用代数法求得，如下：设F(0 , b , c)，PF=PD，则(0 , b , c233)=(0 , 2 , 233)，解得b=2，c=233233，AF=(0 , 2 , 233233)，PD=(0 , 2 , 233)，AFPD，AFPD=443+43=0，解得=14，F0 ,
12、 12 , 32； 求点B到平面AEF的距离的解题步骤(1) 求平面AEF的法向量n=(0 , 3 , 1)；(2) 在平面AEF内选一点A，求其与点B的向量AB=(3 , 1 , 0)；(3) 利用公式d=|nAB|n|(向量n在法向量n上的投影绝对值)求所求距离，d=|nAB|n|=32.【典题】 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于P，GC垂直于ABCD所在平面(1)求证：EF平面GPC(2)若AB=4，GC=2，求点B到平面EFG的距离【解析】(1)连接BD交AC于O，E , F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACGC垂直于ABCD所在平面，
13、EF平面ABCD EFGCACGC=C， EF平面GPC(2) 方法一 向量法建立空间直角坐标系Cxyz，则G(0 , 0 , 2)，E(4 , 2 , 0)，F(2 , 4 , 0)，B(4 , 0 , 0)GE=(4 , 2 , 2)，EF=(2 , 2 , 0)设面GEF的法向量n=(x , y , z)，则GEn=0且EFn=0，即4x+2y2z=0且2x+2y=0取x=1时，可得n=(1 , 1 , 3)又向量BE=(0 , 2 , 0)则B到面GEF的距离d=|nBE|n|=21111.方法二 等积法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22， SEFG=12P
14、GEF=211，易得SEFB=12AFEB=2VBEFG=VGEFB13SEFG=13GCSEFB=GCSEFBSEFG=22211=21111.方法三 间接法由题意可知PC=34AC=32 , PG=PC2+GC2=22，PC=3OP， C到面GEF的距离是O到面GEF距离的3倍，在GPC中，点C到边PG的高为CM，又EF平面GPC，CM平面EFG , CM为C到面GEF距离，在GPC中，可得PGCM=GCPCCM=23222=611，又BDEF，可得BD平面GEF，可得B到面GEF的距离等于O到面GEF的距离13CM=211=21111【点拨】求点A到平面的距离方法有很多种， 直接法：若能确定点A到平面的垂线段当然最好了！ 向量法
