《中考数学二轮培优专题12 半角模型（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮培优专题12 半角模型（解析版）（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12 半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90角包含着45角，120角包含着60角，270角包含着135角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。基本模型：1）90的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，EAF=45，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：EF=BE+DF AE平分BEF，AF平分DFE CCEF=2倍正方形边长SABE +SADF =SAEF AB=AG=AD（过点A作AGEF，垂足为点G） OP2=OB2+OD2 若点E为B
2、C中点，则点F为CD三等分点APOAEFDPFBEODAOBPA ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆APE、AOF为等腰直角三角形 (11) EF=OP (12) SAEF=2SAPO (13)AB2=BPOD(14)CECF=2BEDF (15) EPC为等腰三角形(16) PX=BX+DP(过点E作EXBD，垂足为点X)证明：思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM 先根据已知条件ABE ADM (SAS)，由此可得AE=AM，BAE=DAM 而BAE+FAD =45，所以DAM+FAD =45，可证明AEF AMF (SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+D
3、F=BE+DF，因此EF=BE+DF思路：AEF AMF (SAS) AFM=AFE，AMF=AEF AF平分DFE 又AMF=AEB AEB=AEF AE平分BEF思路：CCEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC、思路：过点A作AGEF，垂足为点G 根据证明过程可知AFG=AFD，AEB=AEG 因此可以证明: ABE AGE (AAS), AGF ADF(AAS) 所以AB=AG=AD，SABE =SAGE，SAGF =SADF 则SAEF= SAGE+ SAGF= SABE + SADF思路：绕点A将APD逆时针旋转90
4、得到ANB ,使AD，AB重合 因为APD ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，NAB=PAD，ADP=ABN因为ADB=ABD=45，所以NBO=90因为BAE+PAD=45 所以NAB+BAE=45 则ANO APO (SAS) 所以NO=OP 在RtNBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2 思路：已知tanEAB=EAB+FAD=45 tanFAD，DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点。思路：假设AEF的度数为，AFE的度数为。在右图中已知表示45角，表示角的度数为，表示角的度数为所以APOAEFDPFBEODAOBPA、思路：1）E
5、AP=EBO=45，ABEP四点共圆 EBA =90，AE为直径，APE=90 则APPE AEP=180-APE-EAP=45 APE为等腰直角三角形 2）同理AOFD四点共圆， ADF =90，AF为直径，AOF=90 则AOOF AFO=180-AOF-OAF=45 AOF为等腰直角三角形 3)EOF=EPF= ECF =90，OECFP五点共圆(11) 思路：APOAEF ,假设AP长为1，则AE=,EF=OP(12) 思路：APOAEF 相似比为，则面积的比为 ，SAEF=2SAPO(13) 思路：ABPODA ,ABAD=BPOD 则AB2=BPOD(14) 思路：假设正方形的边长
6、为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2 化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CECF=2BEDF (15) 思路：根据证明过程可知APE为等腰直角三角形，所以AP=PE 再证明ADP CDP (SAS)，所以AP=PC，则PE=PC 所以EPC为等腰三角形 (16) 思路：过点E作EXBD，垂足为点X, 过点A作AYBD，垂足为点Y，连接PE先证明APY PEX (AAS) (“一线三垂直模型”)，所以AY=PXAY= ,PX= 所以BX+DP= PX=2）120半角模型模型一：已知ABC为等边三角
7、形，DB=DC，BDC=120，MDN=60，则MN=BM+NC证明(思路)：延长AC至点E，使CE=BM连接DE 先证明MBD ECD (SAS)，所以DM=DE，BM=CE，BDM=CDE BDC=120，MDN=60 BDM+CDN=60 CDE +CDN=60则EDN=60再证明DNM DNE (SAS) MN=NE 而NE=NC+CE 所以MN= NC+MB模型二：已知ABC为等边三角形，DB=DC，BDC=120，MDN=60，则MN=NC-BM证明(思路)：线段AC取一点E，使CE=BM连接DE、MN 先证明MBD ECD (SAS)，所以DM=DE，BDM=CDE BDC=12
8、0，MDN=60 BDN+CDE=60 EDN=120-BDN-CDE=60再证明NBD NED (SAS) MN=NE 而NE=NC-CE 所以MN= NC-MB3）135半角模型在RtABC中，点E、点D分别为AB、AC边上动点，四边形AEFD是正方形，且BFC=135，则CB=CD+BE证明(思路)：延长DA至点M，使DM=BE，连接FM 先证明FDM FEB(SAS)，所以BF=FM，DFM=2 1+2=360-90-135=1351+DFM =135则CFM=CFB 再证明CMF CBF(SAS), MC=BC 则CB=CD+BE【提高测试】1（2022秋八年级课时练习）如图，在中，
9、D、E是斜边上两点，且，若，则与的面积之和为（）A36B21C30D22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，在和中，即是直角三角形，即与的面积之和为21，故选：B【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键2（2022安徽校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足PAQ
10、45，连接PQ、PC、CQ则下列结论：BPDQ3.6；QADAPB；PCQ135；其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断【详解】四边形ABCD是正方形，AD=AB=2，BAD=90，PAQ45，BAP+QAD =45，BM是正方形的外角的平分线，MBC=135，BAP+APB=45，QADAPB，正确；BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，ABP=QDA=135，QADAPB，ABPQDA，BP：DA=BA：DQ，BPDQ，错误；ABPQDA，BP：DA
11、=BA：DQ，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，BP：BC=DC：DQ，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，PBC=QDC=45，BPCDCQ，BCP=DQC，PCQ=360-BCD-BCP-DCQ=270-（DQC+DCQ）=270-（180-CDQ）=135.正确；如图，将AQD绕点A顺时针旋转90得到ABF，连接PF则ABFADQ1=3，AF=AQ，BF=DQ，AFB=AQDPAF=1+2=2+3=BAD-PAQ=45PAF=PAQ又AP=AP，APFAPQPF=PQPBF=（AFB+1）+45=（AQD+3）+45=90在RtBPF中，正确；故选C【点睛】本题考查了
12、正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键.3（2022秋江苏八年级专题练习）如图所示，在RtABC中，ABAC，D、E是斜边BC上的两点，且DAE45，将ADC绕点A按顺时针方向旋转90后得到AFB，连接EF，有下列结论：BEDC；BAFDAC；FAEDAE；BFDC其中正确的有（）ABCD【答案】C【分析】利用旋转性质可得ABFACD，根据全等三角形的性质一一判断即可【详解】解：ADC绕A顺时针旋转90后得到AFB，ABFACD，BAFCAD，AFAD，BFCD，故正确，EAFBAF+BAECAD+BAEBACDAE904545DAE故正确无法判断BECD，故错误，故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（2022秋广东深圳九年级校考期中）如图，点M
