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1、第四章第四章 二阶偏微分方程与分离变量法二阶偏微分方程与分离变量法1、二阶方程的分类、二阶方程的分类2、分离变量法、分离变量法3、特征值理论、特征值理论4、特殊函数的应用、特殊函数的应用5、典型问题分析、典型问题分析第四章 二阶偏微分方程概述化学工程中常见的化学工程中常见的PDE对流扩散反应方程对流扩散反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。第四章 二阶偏微分方程概述二阶导数项占优时，一般采用以下
2、两种方法求解二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解分离变量法：适用于有限空间区域；分离变量法：适用于有限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程求解。均化为常微分方程求解。第四章二阶偏微分方程方程的分类1 二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类令令得得 第四章二阶偏微分方程方程的分类由线性代数由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型可通过线性变换将特征二次型化为对角型 第四章二阶偏微分方程方程的分类二阶方程分类：二阶方程分类：当当b2ac 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当当b2ac=0时，曲
3、线为抛物线时，曲线为抛物线,方程称为抛物型方程方程称为抛物型方程当当b2 ac0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程 第四章二阶偏微分方程方程的分类标准形式：标准形式：椭圆型方程椭圆型方程抛物型方程抛物型方程 双曲型方程双曲型方程第四章二阶偏微分方程方程的分类物理意义：物理意义：椭圆型方程椭圆型方程位势方程，描述与时间无关的定常分布；位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程抛物型方程热传导方程，描述不可逆的发展演变；热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程双曲型方程波动方程，描述可逆的双向波动。波动方程，描述可逆的双向波动。第四章二阶偏微分方程方程
4、的分类定解问题的提法定解问题的提法方程与初、边值的组合方程与初、边值的组合初值问题初值问题(Cauchy问题问题)边值问题边值问题混合问题混合问题第四章二阶偏微分方程分离变量法2 2 分离变量法分离变量法试探问题的变量分离形式的解试探问题的变量分离形式的解例例1设设第四章二阶偏微分方程分离变量法变量分离，得变量分离，得求求X(x)的非零解，通过调整参数的非零解，通过调整参数 的值的值第四章二阶偏微分方程分离变量法)当当 0时，方程的通解时，方程的通解c1=c2=0，也即，也即(x)0)当当=0时，方程的通解时，方程的通解 c1=c2=0，也即，也即(x)0第四章二阶偏微分方程分离变量法)当当
5、0时，方程通解具有如下形式时，方程通解具有如下形式 由边界条件由边界条件X(0)=0知知c1=0,再由再由 为了有非零解为了有非零解c20，必须，必须sin=0，由此确定出参数，由此确定出参数 第四章二阶偏微分方程分离变量法由此得变量分离解由此得变量分离解第四章二阶偏微分方程分离变量法为满足初值，将解叠加为满足初值，将解叠加由初值由初值得解。得解。第四章二阶偏微分方程分离变量法例例2 矩形区域的矩形区域的Laplace方程方程例例3 圆形区域的圆形区域的Laplace方程方程 令令第四章二阶偏微分方程分离变量法特征值问题特征值问题解得解得 n第四章二阶偏微分方程分离变量法由边值由边值第四章二阶
6、偏微分方程分离变量法得得得解。得解。第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结小结：分离变量法分离变量法1、假设变量分离形式的解、假设变量分离形式的解2、导出并求解特征值问题、导出并求解特征值问题3、叠加成级数，满足初值或边值、叠加成级数，满足初值或边值关键问题关键问题特征值问题特征值问题能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。第四章二阶偏微分方程分离变量法3 3 分离变量法分离变量法非齐次方程与边界条件：化齐与展开非齐次方程与边界条件：化齐与展开1、非齐边值的处理：迭加边值问题特解、非齐边值的处理：迭加边值问题特解，化齐，化齐例例1第四章二阶偏微分方程分
7、离变量法令令 特解特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为要求满足边值，有无穷多种选择，规范为 第四章二阶偏微分方程分离变量法于是，问题化为于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题的齐次边值问题方方程程化化齐齐的的要要点点，是是要要求求叠叠加加的的特特解解v(x)既既要要满满足足边边值值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。第四章二阶偏微分方程分离变量法例例2令令 第四章二阶偏微分方程分离变量法解出解出问题化齐为问题化齐为 例例3 环形区域上的热传导方程环形区域上的热传导方程(p207)第四章二阶偏微分方程分离变量法方程与边值同时化齐
8、方程与边值同时化齐 第四章二阶偏微分方程分离变量法2、非齐方程的处理：级数展开、非齐方程的处理：级数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开 第四章二阶偏微分方程分离变量法代入方程，得代入方程，得 第四章二阶偏微分方程分离变量法 第四章二阶偏微分方程分离变量法u小结：分离变量法的关键小结：分离变量法的关键特征函数特征函数级数展开级数展开问题问题特征函数的存在性？特征函数的存在性？特征函数的正交性？特征函数的正交性？特征函数的完整性？特征函数的完整性？在一般条件下需要从理论上予以回答。在一般条件下需要从理论上予以回答。第四章二阶偏微分方程分
9、离变量法u分离变量法的历史发展分离变量法的历史发展1700s弦振动方程的三角函数试探解弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)第四章二阶偏微分方程分离变量法18001900sFourier方法方法无穷级数解无穷级数解特征值问题特征值问题Fourier级数理论级数理论Fourier变换变换1800sStrumLiouville特征值理论特征值理论分离变量法的理论基础分离变量法的理论基础特殊函数的应用特殊函数的应用第四章二阶偏微分方程特征值理论4 4 特征值问题特征值问题1、正交性的定义、正交性的定义Fourier展开展开第四章二阶偏微分方程特征值理论2、特征值理论、特征值理论定理一定理一 存在
10、着无穷多个实特征值存在着无穷多个实特征值定理二定理二 当当q(x)0时时,所有特征值非负所有特征值非负 定理三定理三 不同的所对应的特征函数带权不同的所对应的特征函数带权(x)正交正交 定理四定理四 任意函数任意函数f(x)可展开为特征函数可展开为特征函数yn(x)的级数的级数 第四章二阶偏微分方程特征值理论说明说明1、S-L特征值方程具有一般性；特征值方程具有一般性；2、四四个个定定理理只只回回答答了了特特征征函函数数的的存存在在性性、正正交交性性、完完整整性性问问题题，可可据据此此判判断断分分离离变变量量法法的的可可行行性性，给给出出解解的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。的结构。但没
11、有给出特征值方程的求解方法。第四章二阶偏微分方程特殊函数5 5 特殊函数的应用特殊函数的应用 1、极坐标系与、极坐标系与Bessel函数函数令令第四章二阶偏微分方程特殊函数得到得到 判断：特征值存在，特征函数判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整正交，完整第四章二阶偏微分方程特征函数解的构造解的构造由正交性由正交性第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程特征值理论求特征函数求特征函数R(r)，令，令 ，将特征值问题化为，将特征值问题化为上式是上式是0阶阶Bessel方程，可用级数解法得到其解方程，可用级数解法得到其解式中，式中，J0 和和Y0 分别为第一类和第二类分别为第一类
12、和第二类Bessel函数函数第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程特征值理论由边界条件确定特征值和特征函数由边界条件确定特征值和特征函数得解得解第四章二阶偏微分方程特征值理论2、球坐标系与、球坐标系与Legendre函数函数问题问题球形区域的稳态传热与传质球形区域的稳态传热与传质分离变量，令分离变量，令u(r,)=H()R(r)得到得到第四章二阶偏微分方程特征值理论特征值问题为特征值问题为H，作变换作变换x=cos,化为化为Legendre 方程方程 第四章二阶偏微分方程特征值理论自然边界条件自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。由特征值理论，特征函数存在，分离变
13、量法可行。Legendre方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须相应的特征函数为相应的特征函数为 n阶的阶的Legendre多顶式多顶式第四章二阶偏微分方程特征值理论于是，问题的分离变量解为于是，问题的分离变量解为其中系数其中系数B0，A由边界条件确定由边界条件确定第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程典型问题1 1、球形催化剂颗粒的瞬态响应、球形催化剂颗粒的瞬态响应 化齐边值，令化齐边值，令第四章二阶偏微分方程典型问题S=2时，特解时，特解令令 得得第四章二阶偏微分方程典型问题再求齐次边值问题再求齐次边值问题第四章二阶偏微分方程典型问题令令
14、w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值问题得到特征值问题 作变换作变换得得第四章二阶偏微分方程典型问题于是于是第四章二阶偏微分方程典型问题2 2、管式反应器的动态行为管式反应器的动态行为 问题问题第四章二阶偏微分方程典型问题为化齐边值，令为化齐边值，令v(x)为固定床反应器稳态解为固定床反应器稳态解第四章二阶偏微分方程典型问题齐次边值问题齐次边值问题分离变量分离变量w=X(x)T(t)，得特征值问题得特征值问题第四章二阶偏微分方程典型问题化为化为SturmLiouville型方程型方程非零解非零解Xn(x)存在，带权存在，带权exp(-Pex)正交正交 第四章二阶偏微分方程典型问题特征函数
15、特征函数欲得非零解，要求欲得非零解，要求第四章二阶偏微分方程典型问题令令得得由由x=1处的边界条件处的边界条件 确定特征值确定特征值第四章二阶偏微分方程典型问题第四章二阶偏微分方程典型问题3 3、管道中的层流换热、管道中的层流换热Graetz问题问题第四章二阶偏微分方程典型问题无量纲化后无量纲化后分离变量法求解分离变量法求解,令令 第四章二阶偏微分方程典型问题得得特征值问题特征值问题幂级数解幂级数解第四章二阶偏微分方程典型问题由由x=处的边值确定特征值处的边值确定特征值 解得解得第四章二阶偏微分方程小结分离变量法的适用条件分离变量法的适用条件有限空间区域有限空间区域线性方程线性方程方程中系数可分离变量方程中系数可分离变量自变量区域可分离变量自变量区域可分离变量满足满足SL方程的条件方程的条件 谢 谢
