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1、正弦及正弦及30角的正弦值角的正弦值 一一艘艘帆帆船船从从西西向向东东航航行行到到B处处时时，灯灯塔塔A在在船船的的正正北北方方向向，帆帆船船从从B处处继继续续向向正正东东方方向向航航行行2000m到到达达C处处，此此时时灯灯塔塔A在在船船的的北北偏偏西西65的的方方向向.试问：试问：C处和灯塔处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到的距离约等于多少米？（精确到1m）北北东东65ABC【分分析析】由由题题意意，ABC是是直直角角三三角角形形，其其中中B=90，A=65，A所所对对的的边边BC=2000m，求斜边，求斜边AC=？为此，可以去探究为此，可以去探究直角三角形中，直角三角形中，65角角的
2、对边与斜边的比值有的对边与斜边的比值有什么规律？什么规律？探究新知探究新知做一做做一做 画画一一个个直直角角三三角角形形，其其中中一一个个锐锐角角为为65，量量出出65角角的的对对边长度和斜边长度，计算边长度和斜边长度，计算65角的对边角的对边斜边斜边=_=_.与与同同桌桌和和邻邻桌桌的的同同学学交交流流，看看看看计计算算出出的的比比值值是是否否相相等等（精确到（精确到0.01）.如如下下图图所所示示，（1）和和（2）分分别别是是小小明明、小小亮亮画画的的直直角角三角形，其中三角形，其中A=A=65，C=C=90.小明量出小明量出A的对边的对边BC=3cm，斜边，斜边AB=3.3cm，算出：，
3、算出：小亮量出小亮量出A的对边的对边BC=2cm，斜边斜边AB=2.2cm，算出：算出：由由此此猜猜测测：在在有有一一个个锐锐角角为为65的的所所有有直直角角三三角角形形中中，65角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 .这个猜测是真的吗？这个猜测是真的吗？若把若把65角换成角换成任意一个锐角任意一个锐角，则这个角的对边与斜边，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？的比值是否也是一个常数呢？探探 究究如如图图，ABC和和DEF都都是是直直角角三三角角形形，其其中中A=D=.C=F=90，则，则 成立吗？为什么？成立吗？为什么？A=D=，C=F=90
4、，RtABCRtDEF.即即BCDE=ABEF，这这说说明明，在在有有一一个个锐锐角角等等于于的的所所有有直直角角三三角角形形中中，角角的的对对边边与与斜斜边边的的比比值值是是一一个个常常数数，与直角三角形的大小无关与直角三角形的大小无关.小小 结：结：如如图图，在在直直角角三三角角形形中中，我我们们把把锐锐角角的的对对边边与与斜斜边边的的比比叫作叫作角角的正弦的正弦，记作，记作sin，即，即说说 明：明：1.sin 是是在在直直角角三三角角形形中中定定义义的的，是是锐锐角角（注注意意数数形形结结合合，构构造造直直角角三角形）三角形）.2.sin 是是一一个个完完整整的的符符号号，如如：sin
5、 不不是是sin与与的的乘乘积积，而而是是一一个个整整体体，表示表示 的正弦的正弦.3.sin 是线段的一个比值是线段的一个比值.注意比的顺序，且注意比的顺序，且0sin 1，无单位，无单位.4.sin 的大小只与的大小只与的大小有关，而与直角三角形的边长无关的大小有关，而与直角三角形的边长无关.一一艘艘帆帆船船从从西西向向东东航航行行到到B处处时时，灯灯塔塔A在在船船的的正正北北方方向向，帆帆船船从从B处处继继续续向向正正东东方方向向航航行行2000m到到达达C处处，此此时时灯灯塔塔A在在船船的的北北偏偏西西65的的方方向向.试问：试问：C处和灯塔处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到的距离
6、约等于多少米？（精确到1m）北北东东65ABC解：在解：在RtABC中，中，BC=2000m，A=65，思考：思考：在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜角所对的直角边与斜边有什么关系？边有什么关系？在直角三角形中，在直角三角形中，30所对应的直角边等于斜边的一半。所对应的直角边等于斜边的一半。例例1：如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C=90，BC=3，AB=5.（1）求）求 sin A 的值；的值；（2）求）求 sin B 的值的值.解解（1）A的对边的对边BC=3，斜边，斜边AB=5.于是于是例例1：如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C=90，BC=3，A
7、B=5.（1）求）求 sin A 的值；的值；（2）求）求 sin B 的值的值.（2）B的的对对边边是是AC，根根据据勾勾股股定理，得定理，得 AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是于是AC=4.因此因此练习练习1.如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90，BC=5，AB=13.求求sin A，sin B的值的值.解：解：A的对边的对边BC=5，斜边，斜边AB=13.B的对边是的对边是AC，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得 AC2=AB2-BC2=132-52=144.于是于是AC=12.于是于是因此因此2.如图，在平面直角坐标系内有一点如图，在平面直角坐标系内有
8、一点P（3，4），连接），连接OP，求求OP与与x轴正方向所夹锐角轴正方向所夹锐角的正弦值的正弦值.解：如图，设点解：如图，设点A（3，0），连接），连接PA.A在在RtAPO中，由勾股定理得中，由勾股定理得 OP2=AP2+AO2=42+32=25.于是于是OP=5.因此因此课课堂堂小小结结 如如图图，在在直直角角三三角角形形中中，我我们们把把锐锐角角的的对对边边与与斜斜边边的的比比叫作叫作角角的正弦的正弦，记作，记作sin，即，即1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业45，60角的正弦值角的正弦值及用计算器求正弦值或锐角及
9、用计算器求正弦值或锐角新课导入新课导入前面已经通过直角三角形边的关系知道了前面已经通过直角三角形边的关系知道了sin30的值的值.思考：思考：那么上面两种特殊三角形中那么上面两种特殊三角形中sin60、sin45的值又是多的值又是多少呢？少呢？306045ACBDEF探究新知探究新知动脑筋动脑筋如何求如何求sin 45的值？的值？如图，构造一个如图，构造一个RtABC，使，使C=90，A=45.于是于是B=45从而从而AC=BC根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2.于是于是AB=BC因此因此sin45=.如何求如何求sin 60的值？的值？如图所示，构造一个如图所
10、示，构造一个Rt ABC，使，使B=60，则，则A=30.从而从而BC=AB.根据勾股定理得根据勾股定理得 AC2=AB2BC2=AB2(AB)2=AB2.于是于是AC=AB因此因此sin60=306045ACBDEF至此，我们已经知道了三个特殊角至此，我们已经知道了三个特殊角(30,45,60)的正弦值的正弦值.对于一般锐角对于一般锐角的正弦值，我们可以利用计算器来求的正弦值，我们可以利用计算器来求用计算器求锐角的正弦用计算器求锐角的正弦值要用到值要用到sin键键.例如求例如求50角的正弦值，可以在计算器上依次按键角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为，显示结果为0.766 0.s
11、in50 如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角锐角.例如，已知例如，已知sin=0.7071，依次按键，依次按键sin2ndF0.7071，显示结果为显示结果为44.999，表示角，表示角约等于约等于45.做一做做一做利用计算器计算：利用计算器计算：（1）sin40 _（精确到（精确到0.0001）；）；（2）sin1530 _（精确到（精确到0.0001）；）；（3）若）若sin=0.522 5，则，则 _（精确到（精确到0.1）；）；（4）若）若sin=0.809 0，则则 _（精确到精确到0.1）.0.64280.26723
12、1.554.0 例例2：计算：计算：解：解：小小 结：结：1.直角三角形中，角直角三角形中，角的正弦函数等于哪两边之比呢？的正弦函数等于哪两边之比呢？2.直角三角形中，直角三角形中，sin 值的范围是什么？值的范围是什么？3.学习角学习角的正弦函数时，用到了什么主要的数学思想方法？的正弦函数时，用到了什么主要的数学思想方法？练习练习1.用计算器求下列锐角的正弦值（精确到用计算器求下列锐角的正弦值（精确到0.0001）：）：（1）35；（2）6536；（3）8054.解：（解：（1）sin35=0.5736；（2）sin6536=0.9107；（3）sin8054=0.9874.2.已知下列正弦
13、值，用计算器求对应的锐角已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到精确到0.1)：（1）sin =0.8071；（2）sin =0.8660.解：（解：（1）53.8；（2）60.0；3.计算：计算：（1）sin260+sin245；（2）1-2sin30sin60.解：解：sin260+sin245解：解：1-2sin30sin604.如如图图，一一名名患患者者体体内内某某器器官官后后面面有有一一肿肿瘤瘤，在在接接受受放放射射性性治治疗疗时时，为为了了最最大大限限度度地地保保证证疗疗效效，并并且且防防止止伤伤害害器器官官，射射线线必必须须从从侧侧面面照照射射肿肿瘤瘤，已已知知肿肿瘤瘤在在皮
14、皮下下6.3cm的的A处处，射线从肿瘤右侧射线从肿瘤右侧9.8cm的的B处进入身体，求处进入身体，求CBA的度数的度数.解：在解：在RtABC中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=6.32+9.82=135.73.于是于是AB11.65.因此因此则则CAB3244.课课堂堂小小结结306045ACBDEF1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.课后作业课后作业余弦余弦复习导入复习导入1.什么叫作正弦？什么叫作正弦？如如图图，在在直直角角三三角角形形中中，我我们们把把锐锐角角的的对对边边与与斜斜边边的的比比叫作叫作角角的正
15、弦的正弦，记作，记作sin，即，即2.sin30、sin45、sin60的值分别是多少？的值分别是多少？探究新知探究新知 如下图所示，如下图所示，ABC和和DEF都是直角三角形，其中都是直角三角形，其中A=D=，C=F=90，则，则 成立吗？为什么？成立吗？为什么？探探 究究 A=D=，C=F=90，B=E.从而从而sin B=sin E.因此因此 .由由此此可可得得，在在有有一一个个锐锐角角等等于于的的所所有有直直角角三三角角形形中中，角角的的邻邻边边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关小小 结：结：如如图图，在在直直角角三三角角形形中
16、中，我我们们把把锐锐角角的的邻邻边边与与斜斜边边的的比比叫作叫作角角的余弦的余弦，记作，记作cos，即，即 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90，A，B，C的对边分别记作的对边分别记作a，b，c.A的正弦值是什么？的正弦值是什么？B的余弦值呢？它们的余弦值呢？它们相等吗？相等吗？从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有有cos=sin(90).从而有从而有sin=cos(90).例例3：求求cos30，cos60，cos45的值的值 解：解：小小 结：结：30 45 60sincos 对于一般锐角对于一般锐角(30，45，60除外除外)的余弦值，我们可用的余弦值，我们可用计算器来求计算器来求.例如求例如求50角的余弦值，可以在计算器上依次按键角的余弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为，显示结果为0.642 7.cos50 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角锐角.例如，已知例如，已知cos=0.8661，依次按键，依次按键cos2ndF0.8661，显示
