《高三数学备考冲刺140分问题36圆锥曲线中的定值定点问题含解析45》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题36圆锥曲线中的定值定点问题含解析45（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 问题问题 3636 圆锥曲线中的定值、定点问题圆锥曲线中的定值、定点问题 一、考情分析 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用 二、经验分享 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特
2、殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 三、知识拓展三、知识拓展 1.设点是椭圆 C：上一定点，点 A,B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点，若，则时 直 线 AB 斜 率 为 定 值，若，则 直 线 AB 过 定 点，F 是该椭圆焦点，则；2.设点是双曲线 C：一定点，点
3、 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点，若，则时 直 线 AB 斜 率 为 定 值，若，则 直 线 AB 过 定 点,P m n222210 xyababPAPBkk0220bmnan02222,nb mmna,bOPa acPFac,P m n222210,0 xyababPAPBkk0220bmnan02；3.设点是抛物线 C：一定点，点 A,B 是抛物线 C 上不同 于 P 的两点，若，则时 直 线 AB 斜 率 为 定 值，若，则 直 线 AB 过 定 点；四、题型分析四、题型分析(一一)定点问题定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常
4、数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明【例 1】已知直线 的方程为,点是抛物线上到直线 距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线 交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.（）求点的坐标；（）证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.【分析】（）到直线 距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线 平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线 的距离 得当且仅当时取最小值
5、,（）解析几何中定点问题的解决方法,为以算代证,即先求出直线 AB 方程,根据恒等关系求定点.先设点,求出直线 AP方程,与直线 方程联立,解出点纵坐标为.即得点的坐标为2222,nb mmna,P m n220ypx pPAPBkk00pnn022,npmn l2yxP24yxlAPAPlQQx24yxBPABllPl20200002242422224 2yyyxyd02y A2114yy，114220 xyyylQ11282QyyyB3,再根据两点式求出直线 AB 方程,最后根据方程对应恒成立得定点【解析】（）设点的坐标为,则,所以,点到直线 的距离.当且仅当时等号成立,此时点坐标为.（）
6、设点的坐标为,显然.当时,点坐标为,直线的方程为；当时,直线的方程为,化简得；综上,直线的方程为.与直线 的方程联立,可得点的纵坐标为.因为,轴,所以点的纵坐标为.因此,点的坐标为.当,即时,直线的斜率.所以直线的方程为,整理得.当,时,上式对任意恒成立,21121142822yyyy，21124280yyxyxy1y2 2，P00 xy，2004yxPl20200002242422224 2yyyxyd02y P1 2，A2114yy，12y 12y A1 2，AP1x 12y AP12122114yyxy114220 xyyyAP114220 xyyyl2yxQ11282QyyyBQxB1
7、1282ByyyB21121142822yyyy，111282yyy 218y AB111122211121282488442yyyykyyyyAB2111214884yyyyxy21124280yyxyxy2x 2y 1y4 此时,直线恒过定点,当时,直线的方程为,仍过定点,故符合题意的直线恒过定点.考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关【小试牛刀】
8、【新疆乌鲁木齐市 2019 届高三一模】椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直线方程是.（1）求椭圆 的方程；（2）过点作直线交椭圆 于，两点，若点 关于 轴的对称点为，证明直线过定点.【解析】（1）对于，当时，即，当，即，椭圆的方程为，（2）证明：设直线，（），设，两点的坐标分别为，则，联立直线与椭圆得，得，解得，直线，AB2 2，218y AB2x 2 2，AB2 2，5 令，得 ，直线过定点 (二二)定值问题定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的
9、变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值【例 2】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,.（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（）设,则,而,所以（）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得,高为,代入面积公式化简得 2,0A 2,0B2222:10 xyCaba
10、b,P M NC,AP BP12,k k1214k k /APOM/BPONCOMN(,)P m n2122224nnnk kmmm2222224144mnmnbb 22121144bk kb MNMNykxt2222441114ktMNkk1214k k 22241tk21tdk222212214112ttkSkkt6【解析】（）椭圆.（）设直线的方程为,.的面积为定值 1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条
11、件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【小试牛刀】【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的221,11442,APBPbkkbaa 22:14xCyMNykxt11,M x y22,N xy22222,4184401,4ykxtkxktxtxy122841ktxxk 21224441tx xk1212121212121211404044yyk ky yx xkxtkxtx xxx 22121241440kx xkt xxt2222222448414402414141tktk
12、ktttkkk2222121212114MNkxxkxxx x22222228441142 2414141kttkkkkk21tdk222212214112ttkSkktOMN7 一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于、两点，交 轴于点，若，求证：为定值.【解析】（1）设椭圆 的方程为，则由题意知.即 椭圆 的方程为（2）设、点的坐标分别为，.又易知 点的坐标为 显然直线 存在的斜率，设直线 的斜率为，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得，将各点坐标代入得，圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中
13、寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置等探求定值、定点,然后利用推理证明的方法证明之 四、迁移运用四、迁移运用 1【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】直线 与抛物线：交于两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线 过定点（）A B C D【答案】C 8【解析】设，则，又，解得.将直线：代入，得，.即直线：，所以 过定点 2.【湖南省浏阳一中、醴陵一中联考】双曲线的左、右焦点分别为，P 为双曲线右支上一点，I 是的内心，且，则（）A B C D 【答案】D【解析】如图，设内切圆的半径为 由得，整理得 因为 P 为双曲线右支上一点，所以，所以故选 D 3.【江西省南昌市 20
14、19 月考】已知椭圆：的右焦点为,且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆 上，设它的三条边、的中点分别为、，且三条边所在直线的斜率分别为、，且、均不为 0.为坐标原点，若直线、的斜率之和为 1.则（）9 A B-3 C D【答案】A【解析】因为椭圆：的右焦点为,且离心率为，且 所以可求得椭圆的标准方程为 设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为 A、B 在椭圆上，所以，两式相减得 ，即 同理可得 所以 因为直线、的斜率之和为 1 所以 所以选 A 4【福建省 2019 届适应性练习（四)】设 为坐标原点，动圆 过定点,且
15、被 轴截得的弦长是 8.（）求圆心 的轨迹 的方程；（）设是轨迹 上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.【解析】()设动圆半径为 由动圆被 轴截得的弦长是 8 得 消去 得 故圆心 的轨迹 的方程()设直线，10 联立方程得，消去 得，则，设直线的倾斜角分别是 ，同理，故直线过定点 5.【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆 C过点(I)求椭圆 C 的方程；(II)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 与椭圆 C 相切于点 A，与直线相交于点 B，求证：的大小为定值【解析】()椭圆 C 过点，离心率为 又 由得，.椭圆 C 的方程为 C：.()显然直线 l
16、 的斜率存在，设 l:y=kx+m.由消 y 得 由得.11 切点 A 的坐标为 又点 B 的坐标为，右焦点 F 的坐标为，AFB=90，即AFB 的大小为定值.6【江西省赣州市十四县（市）2018 届高三下学期期中】已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线 与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值 【解析】（1）由题意得椭圆的方程为：，即 ，又为椭圆上一点，即，nC2222xynab0ab*nN12,F F6C63A，6C2120AFFF 6CP3CP3Cl6CMNPQQMN6C6C22226xyab2222166xyab2120AFFF 212AFFF 6,3A6C6c 222666abc221ab12 又，,椭圆的方程为 （2）解：当直线 斜率存在时，设 方程为,由消去 y 整理得，直线 与椭圆相切，整理得 设，则，且，点到直线 的距离，同理由消去 y 整理得，设，则，当直线 斜率不存在时，易知 222263166ab22a21b ，6C2262xyllykxm2232x
