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1、1 课时规范练 A 组基础对点练 1(2019益阳市、湘谭市调研)下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱(两 0 底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有()A B C D 解析：由题意，可知题图中，GHMN，因此直线 GH 与 MN 共面；题图中，连接 GN，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN异面；题图中，连接 MG，则 GMHN，因此直线 GH 与 MN 共面；题图中，连接 GN，G，M，N 三点共面，但 H平面 GMN，所以直线 GH 与 MN异面故选 C.答案：C 2如图所示，在下列四个正方体中，A，B 为
2、正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()2 解析：对于选项 A，设正方体的底面对角线的交点为 O(图略)，连接 OQ，则OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB与平面 MNQ 不平行，故选 A.3(2019银川模拟)已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，且，则下列结论一定正确的是()Amn Bmn Cm 与 n 相交 Dm 与 n 异面 解析：若，m，则直线 m 与平面 的位置关系有两种：m 或 m.当 m 时，又 n，所以 mn；当 m 时，又 n，所以
3、 mn，故 mn，故选 A.答案：A 4(2019济宁模拟)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角 形，E 是 BC 的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAEB1C1 3 DA1C1平面 AB1E 解析：对于 A，CC1与 B1E 均在侧面 BCC1B1内，又 两直线不平行，故相交，A 错误；对于 B，AC 与平 面 ABB1A1所成的角为 60，所以 AC 不垂直于平面 ABB1A1，故 B 错误；对于 C，AEBC，BCB1C1，所以 AEB1C1，故 C 正确；对于
4、D，AC 与平面 AB1E 有公共点 A，ACA1C1，所以 A1C1与平面 AB1E 相交，故 D 错误 答案：C 5 已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn 解析：因为 l，所以 l，又 n，所以 nl.故选 C.答案：C 6(2019重庆六校联考(一)设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则 的一个充分条件是()A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析：对于选项 A，若存在一条直线 a，a，a，则 或 与 相交
5、，若，则存在一条直线 a，使得 a，a，所以选项 A 的内容是 的一个必要条件；同理，选项 B，C 的内容也是 的一个必要条件而不是充分条件；对于选项 D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项 D 的内容是 的一个充分条件故选 D.答案：D 7(2019宜昌调研)如图所示，在棱长均相等的四棱锥 P ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M，N 分别为 4 侧棱 PA，PB 的中点，有下列结论：PC平面 OMN；平面 PCD平面 OMN；OMPA；直线 PD 与 MN 所成角的大小为 90 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序 号)解析：如图所示，连接
6、 AC，易得 PCOM，所以 PC 平面 OMN，结论正确 同理 PDON，所以平面 PCD 平面 OMN，结论正确由于四棱锥的棱长均相等，所以 AB2BC2PA2PC2AC2，所以 PCPA，又 PC OM，所以 OMPA，结论正确由于 M，N 分别为 侧棱 PA，PB 的中点，所以 MNAB，又四边形 ABCD 为正方形，所以 AB CD，又三角形 PDC 为等边三角形，所以PDC60，所以直线 PD 与 MN 所成的角即PDC，故错误故正确的结论为.答案：8如图所示，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDDC2，点 E，F 分别为 AD，PC 的中点
7、 (1)证明：DF平面 PBE；(2)求点 F 到平面 PBE 的距离 解析：(1)证明：取 PB 的中点 G，连接 EG，FG，则 FGBC，且 FG12BC，5 DEBC 且 DE12BC，DEFG 且 DEFG，四边形 DEGF 为平行四边形，DFEG，又 DF平面 PBE，EG平面 PBE，DF平面 PBE.(2)由(1)知 DF平面 PBE，点 D 到平面 PBE 的距离与 F 到平面 PBE 的距离是相等的，故转化为求点 D 到平面 PBE 的距离，设为 d.连接 BD.VDPBEVPBDE，13SPBEd13SBDEPD，由题意可求得 PEBE5，PB23，SPBE1223 52
8、(232)26，又 SBDE12DEAB12121，d63.9(2019昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N.6 (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线 MN平面 BDH；(3)过点 M，N，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比 解析：(1)点 F，G，H 的位置如图所示 (2)证明：连接 BD，设 O 为 BD 的中点，连接 OM，OH，AC，BH，MN.M，N 分别是 BC，GH 的中点，OMCD，且 OM12CD，NHCD，且 NH12CD
9、，OMNH，OMNH，则四边形 MNHO 是平行四边形，MNOH，又 MN平面 BDH，OH平面 BDH，MN平面 BDH.(3)由(2)知 OMNH，OMNH，连接 GM，MH，过点 M，N，H 的平面就是7 平面 GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是正方体的棱长，体积比等于底面积之比，即 31.B 组能力提升练 10(2019荆州模拟)如图所示，在三棱柱 ABCABC中，点 E，F，H，K分别为 AC，CB，AB，BC的中点，G 为ABC 的重心从 K，H，G，B中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P为()AK BH CG DB 解析：取 AC的中
10、点 M，连接 EM，MK，KF，EF，则 EM，得四边形 EFKM 为平行四边形，若 PK，则 AABBCCKF，故与平面 PEF 平行的棱超过 2 条；HBMKHBEF，若 PH 或 PB，则平面 PEF 与平面 EFBA为同一平面，与平面 EFBA平行的棱只有 AB，不满足条件；连接 BC，则 EFABAB，若 PG，则AB，AB与平面 PEF 平行故选 C.答案：C 11(2019洛阳统考(一)正方形 ABCD 和等腰直角三角形 DCE 组成如图所示的梯形，M，N 分别是 AC，DE 的中点，将DCE 沿 CD 折起(点 E 始终不在平面 ABCD 内)，则下列说法一定正确的是()8 A
11、MN平面 BCE B在折起过程中，一定存在某个位置，使 MNAC CMNAE D在折起过程中，不存在某个位置，使 DEAD 解析：折起后的图形如图所示，取 CD 的中点 O，连接 MO，NO，则在ACD 中，M，O 分别是 AC，CD 的 中点，MOADBC，同理 NOCE，又 BCCE C，平面 MON平面 BCE，MN平面 BCE，故 A 正确；易知 MOCD，NOCD，又 MONOO，CD平面 MNO，MNCD，若 MNAC，又 ACCDC，MN平 面 ABCD，MNMO，又 MO12AD12 ECNO，MN 不可能垂直于 MO，故 MNAC 不成立，故 B 错误；取 CE 的中点 Q，
12、连接 MQ，则在ACE 中，M，Q 分别是 AC，CE 的中点，MQ AE，由图知 MQ 与 MN 不可能始终垂直，故 C 错误，当平面 CDE平面 ABCD 时，又平面 CDE平面 ABCDCD，ADCD，AD平面 ABCD，AD平面 CDE，ADDE，故 D 错误 答案：A 12下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 解析：A 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于 B 选项，如图所示，在
13、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 ABB1A1和平面 BCC1B1与 B1D1所成的角相等，9 但这两个平面垂直；D 选项中两平面也可能相交C 正 确 答案：C 13(2019杭州模拟)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，E 为 AD的中点，点 F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则 EF_.解析：根据题意，因为 EF平面 AB1C，所以 EFAC.又 E 是 AD 的中点，所以 F 是 CD 的中点因为在 Rt DEF 中，DEDF1，故 EF2.答案：2 14(2019唐山统一考试)在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G
14、作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为_ 解析：过点 G 作 EFAC，分别交 PA、PC 于点 E、F，过 E、F 分别作 ENPB、FMPB，分别交 AB、BC 于点 N、M，连接 MN(图略)，则四边形 EFMN 是平行四边形，所以EF323，即 EFMN2，FMPBFM613，即 FMEN2，所以截面的周长为 248.答案：8 15.如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方 形，四条侧棱长均为 217.点 G，E，F，H 分别是 棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH 平 10 面 ABCD，BC 平面 GEFH.(1)证
15、明：GHEF；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 解析：(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GH BC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图所示，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2，得 EBABKBDB14，从而 KB14DB12OB，即 K 为 OB 的中点 由 POGK 得 GK12PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH12BC4.由已知可得 OB42，POPB2OB268326，11 所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 SGHEF2GK482318.
