《高三数学备考冲刺140分问题31利用空间向量求解空间角含解析40》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题31利用空间向量求解空间角含解析40（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 问题问题 3131 利用空间向量求解空间角利用空间向量求解空间角 一、考情分析 利用空间向量求空间角是高考必考问题，一般作为解答题出现在第二问上，难度中等偏易，在高空中属于得分题，主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 二、经验分享(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立(2)用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标
2、，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 (3)利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角(4)利用向量法计算二面角大小的常用方法 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且
3、以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 三、题型分析三、题型分析(一一)利用空间向量求异面直线所成的角利用空间向量求异面直线所成的角【例 1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 2(1)证明如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC3.由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.又AEEC，所以EG3，且EGAC.在 Rt
4、EBG中，可得BE2，故DF22.在 RtFDG中，可得FG62.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE2，DF22，可得EF322，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，3，0)，E(1,0，2)，F(1，0，22)，C(0，3，0)，所以AE(1，3，2)，CF(1，3，22).故 cosAE，CF AE CF|AE|CF|33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.
5、【点评】两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是(0，2，而两向量所成角的取值范围是0，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角 3【小试牛刀】【陕西省榆林市 2019 届高三第二次模拟】如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，E是PD的中点 证明：；设，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值【解析】（1）平面平面，平面平面=，所以.由面面垂直的性质定理得平面，在中，由正弦定理可得：，即，平面，.（2）以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，,得，而，设平
6、面的法向量为，由可得：，令，则，取平面的法向量，则，故二面角的余弦值为.4 (二二)利用空间向量求直线与平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角【例 2】【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】如图，四棱锥中，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（）推导出ADBD，PABD，从而BD平面PAD，由此能证明平面PAD平面ABCD（）取AD中点O，连结PO，则POAD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成
7、角的正弦值【解析】（）ABCD，BCD，PAPDCDBC1，BD，ABC，AB2，AD，AB2AD2+BD2，ADBD，PABD，PAADA，BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD（）取AD中点O，连结PO，则POAD，且PO，由平面PAD平面ABCD，知PO平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，5 则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），（1，0，0），（，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取z，得（0，），（，），cos，直线PA与平面PBC所成
8、角的正弦值为 【点评】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)注意：直线与平面所成角的取值范围是0，2.【小试牛刀】【贵州省贵阳市 2019 届高三年级第一学期期末】如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P 求证：平面平面ABCD；求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值 6 【解析】证明：四边形ABCD为正方形，平面PA
9、B，平面平面PAB；以AB中点O为原点建立空间坐标系如图，0，设是平面PCD的一个法向量，则，7 取，则，设直线PB与平面PCD的所成角为，则，故直线PB与平面PCD的所成角的正弦值为：(三三)利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角【例 3】【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【解析】证明：（1）因为底面 ABCD，所以BD 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC 又 ACCC1C，所以 BD平面 A 又由四棱台 ABCD知，A，C，四点共面 所以 BD （2）如图，设 AC 交 BD 于点
10、O，依题意，OC 且OC，所以OC，且OC所以O底面 ABCD 以 O 为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则，由，得 B1（）因为 E 是棱 BB1的中点，所以 E（）,所以（），（2，0，0）8 设（x，y，z）为平面的法向量，则，取 z3，得（0，4，3），平面的法向量（0，1，0），又由图可知，二面角 EA1C1C 为锐二面角，设二面角 EA1C1C 的平面角为，则 cos，所以二面角 EA1C1C 的余弦值为 【点评】利用空间向量求二面角，也可以有两种方法：分别在二面角l的面，内，沿，延伸的方向作向量n n1 1l，n n2 2l，则这
11、两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；通过法向量求解设m m1 1，m m2 2，则两向量的夹角与该二面角相等或互补 注意：二面角的取值范围是0，【小试牛刀】【山东省潍坊市 2019 届高三下学期一模】如图，三棱柱中，平面平面.（1）求证：；9（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【解析】（1）过点 作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以 为坐标原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，10 所以为平面的一条法向量，
12、所以二面角的余弦值为.四、迁移运用四、迁移运用 1【浙江省温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试】在三棱锥 DABC 中，ADDC，ACCB，AB2AD2DC2，且平面 ABD平面 BCD，E 为 AC 的中点 （I）证明：ADBC；（II）求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值【解析】（I）过 作，（其中 与都不重合，否则，若 与 重合，则与矛盾，若 与 重合，则，与矛盾）面面 面 ，又 面 （II）法一：作，则，由（1）知：面 11 即与面所成角，且 法二：由（I）知平面，以 为原点，分别以射线为 轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系 由题意知：，平面的法向量为，设与面所成角
13、为 2【福建省厦门市 2019 届高中毕业班第一次（3 月)质量检查】如图，在四棱锥中，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，且 因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.12 又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理，得：，所以.以 为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量 所以 故二面角的余弦值为.3【新疆乌鲁木齐市 2019 届高三一模】如图，
14、在正三棱柱中，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.13【解析】（1）如图，连结，则，平面 EFN/平面 B1BCC1，平面，平面.解：（2）以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，设，则，解得，设平面的法向量为，则，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.4【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】如图，在14 三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点 的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.
15、【解析】（）在中，延长交于点，,是等边三角形 为的重心 平面,平面，,即点 为线段上靠近点 的三等分点 （）等边中，交线为，如图以 为原点建立空间直角坐标系 点 在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，15 设平面的法向量 ，则 即，取，则 又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为.5【贵州省遵义市绥阳中学 2019 届高三模拟卷】如图，在边长为 的菱形中，与交于点，将沿直线折起到的位置（点 不与，两点重合）.（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.因为，点 是的中点，
16、所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：以，的方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.易知，则点，所以，.设，则.16 所以.设平面的一个法向量为，则 由得解得 令，得平面的一个法向量为，所以，解得.故所求的值为或.6【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】如图，在四棱锥 PABCD中，AB/CD，AB1，CD3，AP2，DP2，PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上()求证：平面 PAB平面 PCD；()若直线 PA/平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值 【解析】解：（）因为 AB平面 PAD，所以 ABDP，17 又因为，AP=2，PAD=60，由，可得，所以PDA=30，所以APD=90，即 DPAP，因为，所以 DP平面 PAB，因为，所以平面 PAB平面 PCD （）由 AB平面 PAD 以点 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 y 轴，AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐标系.其中，.从而，设，从而得，设平面 MBD 的法向量为，若直线 PA/平面 MBD，满足，即，18 得，取，且，直线 BP 与平
