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1、专题14函数模型及其应用 知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：用函数图象刻画变化过程题型二：幂型函数模型题型三：指数型函数模型题型四：对数型函数模型题型五：分段函数模型题型六：yx(a0)型函数模型题型七：已知函数模型的实际问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了
2、解函数模型在社会生活中的广泛应用.【考点预测】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0且a1，b0)与对数函数相关的模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关的模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)【常用结论】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍
3、增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【方法技巧】1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.2.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
4、(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.4.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.解模：求解函数模型，得出数学结论.还原：将数学结论还原为实际意义的问题.5.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.二、【题型归类】【题型一】用函数图象刻画变化过程【典例1】如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部
5、有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()【解析】水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快故选B.【典例2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用85 的水泡制，再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()Aymx2n(m0)Bymaxn
6、(m0,0a0，a1)Dymlogaxn(m0，a0，a1)【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m0,0a1.故选B.【典例3】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()【解析】依题意知，当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知D项符合要求故选D.【题型二】幂型函数模型【典例1】为迎接2016年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万
7、元满足：p3(其中0xa，a为正常数)已知生产该产品还需投入成本(102p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意知，ypx(102p)，将p3代入化简得：y16x(0xa)(2)y1717213，当且仅当x1，即x1时，上式取等号当a1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a1时，y17在0，a上单调递增，所以xa时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大综上，当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最
8、大；当a1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大【典例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x80时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求对于函数模型()ylog2x2，它在10，100上是增函数，满足条件；当x100时，ymaxlog210022log255，即f(x)5恒成立，满足条件；设h(x)log2x2x，则h(x)，又x10，100，h(x)0，所以h(x)在10，100上是递减的，因此h(x)h(10)log21040，即f(x)恒成立，满足条件.故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型ylog
