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1、第第二二章章 直直线和和圆的方程的方程2.3.3点到直点到直线的距离公式的距离公式 已知点已知点P P0 0(1 1，1 1)和直线和直线l：x+y x+y-4-4=0=0，如何求，如何求点点P P到直线到直线 l 的距离？的距离？x xo oP P0 0Q Qly y 点点P P到直线到直线 l 的距离，是指从点的距离，是指从点P P0 0到直线到直线 l 的的垂线段垂线段P P0 0Q Q的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0 已知：点已知：点P(x0,y0)和直和直L:Ax+By+C=0，怎样，怎样求点求点P到直线到直线L的距离呢？的距离
2、呢？过点过点P作直线作直线L1L于于Q,怎么能够得到线段怎么能够得到线段PQ的长的长?利用两点间的距离公式求出利用两点间的距离公式求出|PQ|.则线段则线段PQ的长就是点的长就是点P到直线到直线L的距离的距离.解题思路：解题思路：步步 骤骤(3)求出求出Q点的坐标点的坐标；(4)由两点间距离公式由两点间距离公式d=|PQ|.反思：这种解法的优反思：这种解法的优缺点是什么？缺点是什么？分析思路一：直接法分析思路一：直接法预备知识：预备知识：对于直线对于直线 l:Ax+B y+C=0(A0,B0)方向向量和法向量方向向量和法向量可表示为：可表示为：如果向量如果向量 与直线与直线l垂直，垂直，则称向
3、量则称向量 为直线为直线l的的法向量法向量.如果向量如果向量 与直线与直线l平行，平行，则称向量则称向量 为直线为直线l的的方向向量方向向量.可表示为：可表示为：P1P2xy0 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？向量方法求点到直线的距离？分析思路二：向量法分析思路二：向量法探究教材探究教材P76P76思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到
4、结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，种方法，你还有其他推导方法吗？你还有其他推导方法吗？xyO面积法求出面积法求出P0Q 求出点求出点R 的坐标的坐标求出点求出点S 的坐标的坐标利用勾股定理求出利用勾股定理求出SR 用直角三角形的面积间接求法用直角三角形的面积间接求法RSd求出求出P0R 求出求出P0S 分析分析3：面积法：面积法xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd独立完成推导过程独立完成推导过程点到直线的距离公式点到直线的距离公式点点P(xP(x0 0，y y0 0)到直
5、线到直线 l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离为：的距离为：特别地，当特别地，当A=0A=0，B B 0 0时，时，直线直线By+C=0By+C=0特别地，当特别地，当B=0B=0，A A 0 0时，时，直线直线Ax+C=0Ax+C=0点到直线的距离公式点到直线的距离公式点点P(xP(x0 0，y y0 0)到直线到直线 l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离为：的距离为：特别地，当特别地，当A=0A=0，B B 0 0时，时，直线直线By+C=0By+C=0特别地，当特别地，当B=0B=0，A A 0 0时，时，直线直线Ax+C=0Ax+C=0注注：(1)运用此公式时要注意
6、运用此公式时要注意直线方程必须是一般式直线方程必须是一般式,若给出其他形式若给出其他形式,应先化成一般式再用公式应先化成一般式再用公式.(2)当点当点P0在直线在直线l上时上时,点到直线的距离为零点到直线的距离为零,公式仍然适用公式仍然适用.例例1 求点求点P0（-1,2）到下列直）到下列直线的距离的距离（1）2 x+y-10=0；（2）3 x=2。典例解析典例解析例已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_.0,10 所以所以a的取值范围是的取值范围是0,10.例例1：已知直线已知直线l经过点经过点M(-1,2),且且A(2,3),B(-4,5)两点到直线两点到直
7、线l的距离相等的距离相等,求直线求直线l的方程的方程.即即x+3y-5=0.综上所述综上所述,直线直线l的方程为的方程为x=-1或或x+3y-5=0.解解:(方法一方法一)当过点当过点M(-1,2)的直线的直线l的斜率不存在时的斜率不存在时,直线直线l的方程的方程为为x=-1,恰好恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线两点到直线l的距离相等的距离相等,故故x=-1满足题意满足题意;当过点当过点M(-1,2)的直线的直线l的斜率存在时的斜率存在时,设设l的方程为的方程为y-2=k(x+1),即即kx-y+k+2=0,由由A(2,3)与与B(-4,5)两点到直线两点到直线l的距离相等的距离相等
8、,得得备选例题备选例题(方法二方法二)由题意得由题意得lAB或或l过过AB的中点的中点.当当lAB时时,设直线设直线AB的斜率为的斜率为kAB,当当l过过AB的中点的中点(-1,4)时时,直线直线l的方程为的方程为x=-1.综上所述综上所述,直线直线l的方程为的方程为x=-1或或x+3y-5=0.即即x+3y-5=0.注意（易错点）：注意（易错点）：用待定系数法求直线方程时用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意首先考虑斜率不存在是否满足题意.备选备选例例.已知直线已知直线l经过直线经过直线2xy50与与x2y0的交点，的交点，若点若点A(5,0)到直线到直线l的距离为的距离为
9、3，则，则l的方程为的方程为_.解析解析法一法一 两直线交点为两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求，当斜率不存在时，所求直线方程为直线方程为x20，此时此时A到直线到直线l的距离为的距离为3，符合题意；，符合题意；当当斜斜率率存存在在时时，设设其其为为k，则则所所求求直直线线方方程程为为y1k(x2)，即即kxy(12k)0.x2或或4x3y50 综上知，所求直线方程为综上知，所求直线方程为x20或或4x3y50.法二经经过过两两已已知知直直线线交交点点的的直直线线系系方方程程为为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以所以l l的方程为的方程为x x2 2或或4x4x3y3y5 50.0.小结点到直线的距离公式的推导及其应用点到直线的距离公式的推导及其应用点点P(xP(x0 0，y y0 0)到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离为：的距离为：课后作业课后作业1.教材教材P77练习（书上）练习（书上）2.教材教材P79习题习题2.3T6，11，13，14，17（作业（作业本）本）
