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1、2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末数学试题一、单选题1记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】首先根据复数代数形式的乘法化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，则在复平面内所对应的点为，位于第四象限；故选：D2在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为（）ABCD【答案】C【分析】根据古典概型概率计算公式，可以利用组合数进行运算求解，也可以利用列举法运算求解【详解】根据题意：方法一：“恰好一个为黑球”的概率
2、为方法二：设三个白球为，两个黑球为，不放回地抽取2个球，则有：，共10个基本事件“恰好一个为黑球”包含：，共6个基本事件，其概率为故选：C3的展开式中的系数为（）A240BC120D【答案】A【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】展开式的通项，由，可得.含项的系数为.故选：A.4随机变量X的分布列如表，则的值为（）X123P0.2A0.4A4.4B7.4C21.2D22.2【答案】B【分析】根据期望公式求，然后由期望性质可得.【详解】由得，所以，所以.故选：B5已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各
3、侧面面积计算作答.【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，所以四棱锥的表面积为.故选：C6已知，则（）ABCD【答案】B【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故选：B.7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X（单位：mm）服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为（）（附：若，则，）A0.6827B0.8413C0.9545D0.8186【答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解可得.【详解】由知，所以.故选：D8已知的值域为，则x的取值范围为（）AB
4、CD【答案】D【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令，则，由题知，解得或，即或，解得或.故选：D二、多选题9某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示：数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（）A变量与呈负相关B回归直线经过点CD该产品价格为元时，日需求量大约为【答案】ABC【分析】根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D.【详解】，回归直线经过点，B正确，将， 代入得，变量与呈负相关，A、C正确，当产品价格为元时，代入得，日需求量大约为，D错误，故选:ABC10在中，下列
5、命题正确的是（）A若，则B若，则定为等腰三角形C若，则定为直角三角形D若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD【解析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在中，若，则，因此，A正确；若，则或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；若，则，所以，即，所以定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，则，因为，所以，D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角
6、形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.11二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】ACD【分析】由二次函数性质对选项逐一判断【详解】由题意得，对称轴，则，故A正确，当时，则，故C正确，当时，则，故D正确，当时，故B错误，故选：ACD12已知函数的值域为集合A，函数的定义域为B，则下列说法正确的是（）A或BC“是“的充分不必要条件D函数的增区间是【答案】BD【分析】根据指数型函数值域即可得到即可，根据对数型函数定义即可得到，根据交并集含义即可判断AB，根据充分不必要条件的判定即可判断C，根据复合函数单调性即可判断D.【详解】，则，则，则，由
7、题意得，解得或，则，则，故A错误；，故B正确；，其中一个元素0在集合中找不到，故C错误；设，则在上单调递增，且，而在上单调递增，则根据复合函数单调性得在上单调递增，则其增区间为，故D正确，故选：BD.三、填空题13已知，且，则的最小值为 【答案】/【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.【详解】因为，所以当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：14为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学现有理科语文数学英语物理化学生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班
8、，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为 【答案】504【分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有种方法；化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有种方法，所以共有：种方法.所以不同的安排上课的方法数为.故答案为：504.15已知函数为偶函数，则 【答案】【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值.【详解】因为函数为偶函数，当时，此时，所以，故.故答案为：.
9、16记，则 【答案】【分析】令，则，利用二项展开式通项可求出的值，然后令，可求得的值.【详解】令，则，所以，的展开式通项为，所以，在等式中，令，可得，因此，.故答案为：.四、解答题17化简与计算：【答案】【分析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】解：原式.18在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A；(2)若，求a，c【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；（2）求出再利用正弦定理得解.【详解】（1）解：因为，所以由正弦定理得，所以，所以，即因为，所以，因为，所以（2）解：若，则则由正弦定理，得，解得，19常言说“病
10、从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：得分45678910女生2914131154男生357111042(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面列联表，并判断可否
11、认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05？未能掌握基本掌握合计女生男生合计(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望.附：，.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表答案见解析，没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关(2)分布列答案见解析，数学期望【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求，即可判断
12、；（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中，女生和男生的分布情况，再结合X的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.【详解】（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：未能掌握基本掌握合计女生253358男生152742合计4060100故，因为，所以没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关.（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，所以，所以随机变量X的分布列为X0123P所以.20如
13、图，四棱锥中，底面是梯形，是等边三角形，是棱的中点，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）为等边三角形，为中点，且；，四边形为平行四边形，又，又，平面，平面.（2），四边形为平行四边形，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，即直线与平面所成角的正弦值为.21已知函数.(1)求的对称中心；(2)求的最小正周期和单调递增区间；(3)若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值.【答案】(1)（）(2)最小正周期为；(3)，【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；（2）利用整体代换法可得周期和单调区间；（3）根据的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.【详解】（1），由
