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1、高考精品文档高考全国乙卷高考全国乙卷理科数学2021 年考试真题与答案解析理科数学2021 年考试真题与答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽甘肃、青海、蒙古、山西吉林、宁夏、新疆、黑龙江 1/13高考全国乙卷：2021 年理科数学考试真题与答案解析高考全国乙卷：2021 年理科数学考试真题与答案解析一、选择题一、选择题本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 2(z+)+3(z)=4+6i，则 z=（）.A、12iB、1+2
2、iC、1+iD、1i答案C2.已知集合 S=s|s=2n+1，nZ，T=t|t=4n+1，nZ，则 ST=（）A、B、SC、TD、Z答案C3.已知命题 p：xR，sinx1；命题 q：xR，1，则下列命题中为真命题的是（）A、p qB、p q 2/13C、pqD、(pVq)答案A4.设函数 f(x)=，则下列函数中为奇函数的是（）A、f(x1)1B、f(x1)+1C、f(x+1)1D、f(x+1)+1答案B5.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的角为（）A、/2B、/3 C、/4 D、/6答案D 6.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑
3、冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A、60 种B、120 种C、240 种 3/13D、480 种答案C7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 0.5 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移/3 个单位长度，得到函数 y=sin(x)的图像，则 f(x)=（）A、sin()B、sin()C、sin()D、sin()答案B8.在区间(0，1)与(1，2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于 7/4 的概率为（）A、7/4 B、23/32C、9/32D、2/9答案B9.魏晋时期刘徽撰写
4、的海岛算经 是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点 E，H，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB=（）.4/13A、表高表距表目距的差表高B、表高表距表目距的差表高C、表高表距表目距的差表距D、表高表距表目距的差表距答案A10.设 a0，若 x=a 为函数的极大值点，则（）.A、abB、abC、aba2D、aba2答案D11.设 B 是椭圆 C：(ab0)的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足，则C 的离
5、心率的取值范围是（）.A、B、5/13C、D、答案C12.设，则（）.A、abcB、bcaC、bacD、cab答案B二、填空题二、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知双曲线 C：(m0)的一条渐近线为+my=0，则 C 的焦距为_.答案414.已知向量 a a=(1，3)，b=(3，4)，若(a ab b)b b，则=_。答案3/515.记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为，B=60，a2+c2=3ac，则 b=_.答案 2 6/1316.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视
6、图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_(写出符合要求的一组答案即可).答案或三、解答题三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题 12 分，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生根据要求作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题 12 分，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。(一)必考题：共 60 分。17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧
7、设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 7/13旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 s12和 s22(1)求，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).答案(1)各项所求值如下所示=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+
8、10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3=x(9.710.0)2+2x(9.810.0)2+(9.910.0)2+2X(10.010.0)2+(10.110.0)2+2x(10.210.0)2+(10.310.0)2=0.36，=x(10.010.3)2+3x(10.110.3)2+(10.310.3)2+2x(10.410.3)2+2x(10.510.3)2+(10.610.3)2=0.4.(2)由(1)中数据得 =0.3，20.34显然 2，所以不认为新设备生产产品的该
9、项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PBAM。（1）求 BC；（2）求二面角 APMB 的正弦值。8/13答案(1)因为 PD平面 ABCD，且矩形 ABCD 中，ADDC，所以以，分别为 x，y，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz。设 BC=t，A(t,0,0)，B(t,1,0)，M(,1,0)，P(0,0,1)，所以=(t,1,1)，=(,1,0),因为 PBAM，所以=+1=0，所以 t=，所以 BC=。(2)设平面 APM 的一个法向量为 mm=(x,y,z)，由于
10、=(,0,1)，则令 x=，得 mm=(,1,2)。设平面 PMB 的一个法向量为 n n=(xt,yt,zt)，则令=1，得 n n=(0,1,1).所以 cos(mm,n n)=，所以二面角 APMB 的正弦值为.9/1319.记 Sn为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项和，已知=2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式.答案(1)由已知+=2，则=Sn(n2)+=2 2bn1+2=2bnbnbn1=(n2)，b1=故bn是以 为首项，为公差的等差数列。(2)由(1)知 bn=+(n1)=，则+=2 Sn=n=1 时，a1=S1=n2 时，an=SnSn1
11、=，故 an=20.设函数 f(x)=ln(ax)，已知 x=0 是函数 y=xf(x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数 g(x)=，证明：g(x)1.答案(1)xf(x)=xf(x)+xf(x)10/13当 x=0 时，xf(x)=f(0)=lna=0，所以 a=1(2)由 f(x)=ln(1x)，得 x1。当 0 x1 时，f(x)=ln(1x)0，xf(x)0；当 x0 时，f(x)=ln(1x)0，xf(x)0故即证 x+f(x)xf(x)，x+ln(1x)xln(1x)0令 1x=t(t0 且 t1)，x=1t，即证 1t+lnt(1t)lnt0令 f(t)=1t+lnt(1t)
12、lnt，则f(t)=1(1)lnt+=1+lnt=lnt所以 f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，故 f(t)f(1)=0，得证。21.己知抛物线 C：x2=2py(p0)的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为 4.(1)求 p；(2)若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 的最大值.答案(1)焦点到的最短距离为，所以 p=2.(2)抛物线，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，且.11/13，都过点 P(x0，y0)，则故，即.联立，得，.所以=，所以=.而.故当 y0=
13、5 时，达到最大，最大值为.(二)选考题(二)选考题22.选修 4 一 4：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C(2，1)，半径为 1.(1)写出C 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点 F(4，1)作C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.答案(1)因为C 的圆心为(2，1)，半径为 1.故C 的参数方程为(为参数).(2)设切线 y=k(x4)+1，即 kxy4k+1=0，故=1。12/13即|2k|=，4=，解得 k=.故直线方程为 y=(x4)+1，y=(x4)+1故两条切线的极坐标方程为 sin=cos+1 或 sin=cos+1.23.选修 4 一 5：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)=|xa|+|x+3|.(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若 f(x)a，求 a 的取值范围.答案(l)a=1 时，f(x)=|x1|+|x+3|，即求|x1|+|x3|6 的解集.当 x1 时，2x 十 26，得 x2;当3xa，而由绝对值的几何意义，即求 x 到 a 和3 距离的最小值.当 x 在 a 和3 之间时最小，此时 f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|a.A3 时，2a+30，得 a；aa，此时 a 不存在.综上，a.
