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1、高考精品文档高考全国乙卷高考全国乙卷理科数学2020 年考试真题与答案解析理科数学2020 年考试真题与答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽甘肃、青海、蒙古、山西吉林、宁夏、新疆、黑龙江 1/16高考全国乙卷：2020 年理科数学考试真题与答案解析高考全国乙卷：2020 年理科数学考试真题与答案解析一、选择题一、选择题本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若z=1+i，则|z22z|=_。A0B1CD2答案D2设集合A=x|x
2、240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=_。A4B2C2D4答案B3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为_。2 2/16ABCD答案C4已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=_。A2B3C6D9答案C5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图。由此散点图，在 10C 至
3、 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度514512514512(,)(1,2,20)iix yi 3/16x 的回归方程类型的是_。ABCD答案D6函数的图像在点处的切线方程为_。ABCD答案B7设函数在的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为_。yabx2yabxexyablnyabx43()2f xxx(1(1)f，21yx 21yx 23yx21yx()cos()6f xx,4/16ABCD答案C8的展开式中 x3y3的系数为_。A5B10C15D20答案C9已知，且，则_。A10976433225()()xxyxy()0,3cos28cos5sin53
4、5/16BCD答案A10已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为ABCD答案A11已知M：，直线：，为 上的动点，过点作M 的切线，切点为，当最小时，直线的方程为ABCD答案D231359,A B CO1OABC1O41ABBCACOOO64483632222220 xyxyl220 xyPlP,PA PB,A B|PMABAB210 xy 210 xy 210 xy 210 xy 6/1612若，则ABCD答案B二、填空题二、填空题13若 x，y 满足约束条件则 z=x+7y 的最大值为_。答案 114设为单位向量，且，则_。答案 15 已知 F 为双曲线的右焦点，A
5、 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_.答案2242log42logabab2ab2ab2ab2ab220,10,10,xyxyy ,a b|1ab|ab32222:1(0,0)xyCabab 7/1616如上图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB=_.答案三、解答题三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题 12 分，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生根据要求作答。解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题 12 分，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生根据要求作答。（一）必考题（一）必考题17设是公比不为 1 的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前 项和答案（1）设的公比为，由题设得即.所以解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前 n 项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得3ABAD14na1a2a3ana11a nnannaq1232,aaa21112aa qa q220,qq1q 2q na2nSnna1(2)nna 112(2)(2)nnSn 21222(2)(1)(2)(2)
7、nnnSnn 2131(2)(2)(2)(2)nnnSn 8/16。所以.18 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值答案（1）设，由题设可得，.因此，从而.又，故。所以平面.1(2)=(2).3nnn 1(31)(2)99nnnSDOAEAEADABCPDO66PODOPA PBCBPCEDOa63,63POa AOa ABa22PAPBPCa222PAPBABPAPB222PAPCACPAPCPA PBC 9/16（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如上图所示的空间直角坐标系.由题设可得.所
8、以.设是平面的法向量，则，即，可取.由（1）知是平面的一个法向量，记，则.所以二面角的余弦值为.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；OOE y|OE Oxyz3 12(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)222EACP312(,0),(0,1,)222ECEP
9、(,)x y zmPCE00EPEC mm20231022yzxy 3(,1,2)3 m2(0,1,)2AP PCBAP n2 5cos,|5n mn mn m|BPCE2 5512 10/16（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.答案（1）甲连胜四场的概率为（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为所以需要进行第五场比赛的概率为（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有
10、三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，因此丙最终获胜的概率为20.已知 A、B 分别为椭圆 E：（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D11611611618111311616841811618181111781688162221xya8AG GB 11/16（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.答案（1）由题设得 A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则，=（a，1）.由=8得a21=8，即a=3.所以E的方程为+y2=1（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）
11、，P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.直线PB的方程为y=（x3），所以y2=（x23）.可得3y1（x23）=y2（x1+3）.由于，故，可得，即将代入得所以，代入式得解得n=3（含去），n=.故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）(,1)AGaGB AG GB 29x9t9t3t3t222219xy2222(3)(3)9xxy 121227(3)(3)y yxx 221212(27)(3)()(3)0.my ym nyynxmyn2219xy222(9)290.mymnyn12229mny
12、ym 212299ny ym2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.mnm nmnnm323=2x my 32 12/16若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.综上，直线CD过定点（，0）.21已知函数.（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）x3+1，求 a 的取值范围.答案（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则=ex+2x1故当x（，0）时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）
13、时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0。32322()exf xaxx12()fx()fx()fx31()12f xx321(1)e12xxaxx321()(1)e(0)2xg xxaxxx32213()(121)e22xg xxaxxxax 21(23)42e2xx xaxa 1(21)(2)e2xx xax 12a ()g x1122a 13/16所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增。由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，g(x)1.（iii
14、）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围是.（二）选考题（二）选考题22选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标答案（1）当 k=1 时，消去参数 t 得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为 1的圆27e427e142a12a 31(1)e2xxx27e10,)4231(1)e2xxx12a 27e,)4xOy1Ccos,sinkkxtyt(t)x2C4 cos16 sin301k 1C4k 1
15、C2C1cos,:sin,xtCyt221xy1C 14/16（2）当 k=4 时，消去参数 t 得的直角坐标方程为的直角坐标方程为由解得故与的公共点的直角坐标为23选修 45：不等式选讲已知函数（1）画出的图像；（2）求不等式的解集答案（1）由题设知414cos,:sin,xtCyt 1C1xy2C41630 xy1,41630 xyxy1414xy1C2C1 1(,)4 4()|31|2|1|f xxx()yf x()(1)f xf x13,31()51,1,33,1.xxf xxxxx 15/16的图像如图所示（2）函数的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数的图像的图像与的图像的交点坐标为由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，故不等式的解集为()yf x()yf x(1)yf x()yf x(1)yf x711(,)6676x ()yf x(1)yf x()(1)f xf x7(,)6
