武汉科技大学 2022 年数学分析考研真题与答案解析武汉科技大学 2022 年数学分析考研真题与答案解析一、选择题一、选择题1、=（）.2019limsin2019xxxA.B.0C.1D.2019.2、若级数和都收敛，则级数（）.21nna21nnb1nnna bA.一定绝对收敛B.一定条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散.3、反函数组的偏导数与原函数组的偏导数之间的关系正确的(,)(,)xx u vyy u v(,)(,)uu x yvv x y是（）.A.1xuuxB.1xuyuuxuyC.2xuxvuxvxD.1xuxvuxvx4、设，是上的连续函数，则（）.22:1D xyfD22()DfxydA.1202()f rdrB.104()rf r drC.102()rf r drD.1204()f rdr5、由分片光滑的封闭曲面 所围成立体的体积（）.V A.13xdydzydzdxzdxdy B.13xdydzydzdxzdxdy C.13zdydzxdzdxydxdy D.13ydydzzdzdxxdxdy 二、计算题二、计算题1、求极限.1 3 5(21)lim2 4 62nnn 2、求极限.2lim(sectan)xxx3、计算，其中 是空间连接点和点的线段(25)Lxyyz dsL(1,0,1)(0,3,2)三、解答题三、解答题1、已知伽马函数，证明：有.10()sxsxe dx0s(1)()sss 2、求.22120lim1dxx3、设，求的傅里叶级数展开式,0()0,0 xxf xx()f x四、证明题四、证明题设.求证：，使得，且0 x(0,1)0 xtxe dtxelim1x五、证明题五、证明题设，试证方程01120112nnaaaaannn1201210nnnnna xa xa xaxa在 0 与 1 之间至少存在一个实数根。
答案解析答案解析一、选择题1B 2A 3D 4C 5A二、计算题1、求极限.1 3 5(21)lim2 4 62nnn 解：令，则1 3 5(21)2 4 62nnTn 1 3 5(21)2 4 62112 4 623 5(21)(21)21nnnnTnnnTn 所以，由夹挤定理得1021nTn1 3 5(21)lim02 4 62nnn 2、求极限.2lim(sectan)xxx解：原式21 sinlimcosxxx2coslim0sinxxx3、计算，其中 是空间连接点和点的线段(25)Lxyyz dsL(1,0,1)(0,3,2)解：的参数方程是（5 分）L1,3,1(01)xt yt ztt ，222222()y()()13111dsx ttz tdtdtdt原式（15 分）1023 11(2(1)35 3(1)112ttttdt 三、解答题三、解答题1、已知伽马函数，证明：有.10()sxsxe dx0s(1)()sss 证明：00(1)sxsxsx e dxx de（15 分）100|()sxsxx esxe dxss 2、求.22120lim1dxx解：记，因为都是和 的连续函数，所以2212I()1dxx2221,1,1xx()I在处连续。
10 分）0（15 分）100limI()I(0)ln21dxx3、设，求的傅里叶级数展开式,0()0,0 xxf xx()f x解：将按周期延拓.则是按段光滑的，故它可以展开成傅里叶级数，由于()f x()f x0011()2af x dxxdx当时，1n 011()cosnxcosnaf xdxxnxdx0020111sin|sincos|xnxnxdxnxnnn222,1cos10,nnnnn当 为奇数时，当 为奇数时，011()sinsinnbf xnxdxxnxdx0011cos|cosxnxnxdxnn（10 分）110111cosnnnxdxnnn所以在开区间上，(,)2121()cossinsin2cos3sin34293f xxxxxx在时，上式右边收敛于x （15 分）(0)(0)0222ff四、证明题四、证明题设.求证：，使得，且0 x(0,1)0 xtxe dtxelim1x证明：由积分中值定理知，使得(0,1).0 xtxe dtxe另一方面，于是有，由此解得01xtxe dte1xxxee（10 分）11lnxexx于是+111limlimln=lim1xxxxxxexexxex （15 分）2+(1)1limlim111xxxxxxxxxeeeexex 五、证明题五、证明题设，试证方程01120112nnaaaaannn1201210nnnnna xa xa xaxa在 0 与 1 之间至少存在一个实数根。
证明：令，1120112()112nnnnnaaaaf xxxxxa xnnn则，且在内可导，由罗尔定理知(0)(1)0ff()0,1f xc()f x(0,1)至少存在使得，即（10 分）(0,1)()0f1201210nnnnnaaaaa命题得证.。