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1、硕士入学考试：2021 年数学三考试真题与答案解析硕士入学考试：2021 年数学三考试真题与答案解析一、选择题一、选择题1.下列函数中,在处不可导的是()0 x .sinA f xxx.sinB f xxx.C f xcos x.cosD f xx答案:D解析:方法一:可导 000sin0limlimlimsin0,xxxxxxf xfxxxxA可导 000sin0limlimlimsin0,xxxxxxf xfxxxxB可导 20001cos102limlimlim0,xxxxxf xfxxCx不存在,不可导 0001cos102limlimlimxxxxxffxxxDx应选.D方法二:因为
2、,(1)0fcosxfx 不存在 0001cos102limlimlimxxxxxf xfxxx在处不可导,选 f x0 x D对在处可导 :Af xxsinx0 x 对在处可导 32:Bf xxxx0 x 对在处可导.():xxCfcos0 x 2.设函数在0,1上二阶可导,且则 f x 100,f x dx 10,02Afxf当时 10,02Bfxf当时 10,02Cfxf当时 10,02Dfxf当时答案 D答案解析：将函数在处展开可得 f x12 2221110001111,222221111111,22222222ff xffxxff x dxffxxdxffxdx故当时,()0fx
3、1011.0.22f x dxff从而有选（D）。3.设,则2222222211,1cos1xxxMdx Ndx Kx dxxeA B.MNK.MKNC.D.KMN.KNM答案:C解析:2222222221211,11xxMdxdxdxxx,因为所以221xxNdxe1xex11xxe即221cos,1cos1.Kx dxx11 1cosxxxe 所以由定积分的比较性质,应选.KMN C4.设某产品的成本函数可导,其中为产量,若产量为时平均成本最小,则()C QQ0Q A00CQB00CQC Q.C000CQQ C QD000Q CQC Q答案 D答案解析：平均成本,由于在处取最 2,C Qd
4、C QCQ QC QC QQdQQ C Q0QQ小值,可知000.Q CQ故选(D).5.下列矩阵中,与矩阵相似的为110011001 111.011001A101.011001B 111.010001C101.010001D答案:A解析:令则110010001P1110010001P1110111110010011010001001001120110110011010011001001001P AP选项为A6.设为 阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则,A Bnr XXXY .Ar AABr A.B r ABAr A .,C r ABmax r Ar B.TTD r ABr A B答案:A
5、解析:易知选项错C对于选项举反例:取1B1 1001 112AB则001 100,331 133BAA BA7.设随机变量的概率密度满足X f x，且，11fxfx 200.6f x dx则0_P X(A)0.2；(B)0.3；(C)0.4；(D)0.6解 由知，概率密度关于对称，故11fxfx f x1x，02P XP X且，由 于，所 以00221P XPXP X 20020.6PXf x dx，即，故选项 A 正确200.4P X00.2P X8.设为取自于总体的简单随机样本，令12,nX XX2,XN ，niiXnX112111()1niiSXXn2211()niiSXXn则下列选项正
6、确的是 _(A)；(B)；n Xt nS1n Xt nS(C)；(D)*n Xt nS*1n Xt nS解 由于，且与相互0,1XNn)1()()1(221222nXXSnniiXn22(1)nS独立，由 分布的定义，得t，(1)n XXt nSSn故选项 B 正确二、填空题二、填空题9.曲线在其拐点处的切线方程为_。22lnyxx答案43yx答案解析：函数的定义域为 f x232240,2,2,yxyyxxx。令,解得,而故点(1,1)为曲线唯一的拐点。=0yx=1 10,y曲线在该点处切线的斜率故切线方程为 14,y43yx。10.2arcsin 1_.xxee222222222222ar
7、csin 11,1=arcsin 1arcsin 1111arcsin 1tansin 111arcsin 11xxxxxxxeeeCtt dttttdttttttdtttCteeeC答案【解析】令t=e 则原式11.差分方程的通解_.25xxyy答案：125xxyc12.函 数2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111=22=5,2525,2,-2=5,=-52xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyyyyyyycyccccyc 【解析】由于，故原差分方程可化为即。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分
8、方程的通解为5,c为任意常数。满足且,则 x 20,xxxxxxxx 02 1_.答案 12.e答案解析：2,=2xxxxxxxxx 由可知可微 且。这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为再由,可得。2;xxce 022c 故 22,12xxee。13.设为3阶 矩 阵,为 线 性 无 关 的 向 量 组,若A123,可得112322332322,AAA，123123200,111121A 。由于线性无关,故从而有相同的特征值。123,200111121A=B，因2200111223,121EB故的实特征值为 2。A14.设随机事件相互独立，且,A B C，1()()()2P AP BP C
9、则()_P AC AB解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得 ()()()()()()()()()1 112 2.111 13222 2P AC ABP AC ABP ABP ACP AP BP ABP AP CP AP BP AP B三、解答题三、解答题15.已知实数,满足,a b1lim2,xxaxb ex求a,b。答案 1,1ab答案解析：011,lim2,ttabt etxt令=可得0000111limlimlimlimttttttttabt eaeaebebttt其中可知0011lim2,lim,1ttttaeaebatt而要使得存在 必须有。01,lim=1=2,1.,1,1t
10、taebbtab此时 有故综上。16.设平面区域由曲线与直线及轴围成。计算二重积分D23 1yx3yxy2Dx dy。答案 32.32答案解析：2223 1222220303 13xxIdxx dyxxx dx2222322002222022244003 13,3 1,sin,3333sincossin 2288432xxdxx dxxxdxxtttdttdt其中对于令可化为而23420211333224163216320 x dxx，综上I=。17.将长为 2的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积m之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.答案解析：设分成的三段分别为则有
11、圆的面积为,x y z2xyz 及x,y,z0，222222123222113113=,=+41636416361132,+41636SxSySzxyzxyzxyz，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S，则问题转化为在条件x,y,z0下,求函数的最小值。令222113+2,41636xyzxyzL=2=02 3234 39=088 3,34 393=0181834 39=203+12+9 3,34 39LxxxLyyyLzzxLxyz则有解得唯一条件极值点为，在该点的函数值即为最小值 最小值为18.已知201cos211,.1nnnnxa xxax 求答案 222112222,0,1,2
12、,;nnannn 22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。答案解析：1-21+x将cos2x与展成幂级数可得 222001200212cos21,2!2!11111,1111nnnnnnnnnnnnnxxxxxnnxnxxxx 则 222112222,0,1,2,;nnannn 22212121212121,0,1,2,2!2!nnnnnnannnnn。19.设数列满足:证明收敛,并求nX110,11,2,.nnxxnxx eennXlim.nnx证明:证明,易证0nx 再证单减,由nX101,0,0nnnxxxnnneeeeexxx拉格朗日中值定理 1,l
13、imnnnnxxxxx单减有下界 由此得存在设lim,1AAnnxAAee则0A20.设实二次型其中 是参数.2221231232313,f x xxxxxxxxaxa(1)求的解;123,0f x x x(2)求的规范形.123,f x x x解析:(1)而123,0f x x x123231300,0 xxxxxxax由得11110201101110002Aaa当时,只有零解2a 3,r A 1230.xxx当时,方程有无穷多解,2a 2,r A 通解为为任意常数.12321,1xxxkkx(2)由(1)知,当时可逆,2a A令,即,则规范形为112322333yxxxyxxyxYAX22
14、2123,fyyy当时,2a 2,r A 令,则112322333yxxxyxxyx222221212122132,22fyyyyyyy令,则得规范形为112223312232zyyzyzy2212.fz z21.已知 是常数,且矩阵可经初等变换化为矩阵a1213027aAa12011111aB(1)求;a(2)求满足的可逆矩阵.APBP解析:(1)经过初等列变换化为AB 121212130010127033000r Ar BaaaAaaaa 22121212011011011111013002r Ar BaaaBaa 由得a=2.(2)令1123123,PXXXBb b b112312312
15、3,=1 2 3122122122122130011012111272111036333122122106344012111012111000000000000iiAPA XXXAXAXAXb b bAXbiA B，111111112222222233336363b=2121,106464b=2121,10646b=2110kAXXkkkkkAXXkkkkAXXk 的通解为为任意常数的通解为为任意常数的通解为3333421,kkkk为任意常数1231123123123123112332123636464=212121(,)636464=212121=kkkPkkkk k kkkkkkkPkkk
16、kkkkk，其中为任意常数，当时,可逆,取可逆矩阵23kk1P123123123123636464=212121(,)kkkPkkkkkkkkk，为任意常数，使得AP=B.22.设随机变量与相互独立，的概率分布为XYX，1112P XP X 服从参数为的泊松分布令，求（1）；（2）的概率Y P ZXY,Cov X ZZ分布解 （1）由题意，知，1111022E X 2221111122E X 则，且于是，由协方差计算公式，得 221D XE XEX E Y 222,.Cov X ZCov X XYE X YE XE XYE XE YEXE YE YD X（2）随机变量的取值为，则ZXY0,1,2,0001,01,0101011,20!20!P ZP XYP XYP XP YP XP Yeee 1,11,2!kP ZkP XYkP XP Ykek同理，1,11,2!kP ZkP XYkP XP Ykek 其中，1,2,k23.总体的概率密度为X，（）1,2xf xex 其中为未知参数，为取自于总体的简单随机样本记0,12,nX XXX的最大似然估计量为，求（1）；（2）,ED解 （1）构
