重庆理工大学2022年[高等代数]考研真题

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1、重庆理工大学 2022 年高等代数考研真题重庆理工大学 2022 年高等代数考研真题一、填空题一、填空题1.设为 阶方阵,有非零解,则必有一个特征值是_.2.设 3 维 列 向 量 ,线 性 无 关,是 3 阶 方 阵,且,则=_.3.已知 阶方阵的特征值为,，则A的伴随矩阵的迹（主对角线元素之和）为_.4.在中,若线性变换关于基,的矩阵为,则关于基,的矩阵为_.5.设 阶方阵的秩为 1,则=_.二、（1）证明：在有理数域上不可约；（2）求的全部有理根.三、设,（1）计算的值,其中是中元素的代数余子式；AnAx 0A123A112323A23223A23334A|A3A122*A3RT1231

2、23103215A T112123n1111aaaaaaAaaaaaaa3(1)5fxxx432()3552xxxxxf1013211000120032A13233343AAAAijA|Aija（2）问是否可逆？若可逆，求，其中为的伴随矩阵.四、设有向量组：及向量,问 为何值时（1）向量可由向量组线性表示，且表示式唯一；（2）向量可由向量组线性表示，但表示式不唯一；（3）向量不能由向量组线性表示.五、设非齐次线性方程组,秩,（1）若有一个解,是其导出组的一个基础解系,证明：线性无关；（2）若为的解，证明：也 是的 解，其 中为 实 数,且.六、已知、为 阶方阵,其中为 阶单位矩阵,（1）证明：

3、可逆,并求其逆（用或表示）；（2）若,求矩阵.AA1*1(5)4AA*AA()A213312,1,1333aaaaaaa20aaa()A()A()A()Axb b 0ArAxb*12,n r Ax 0*12,n r 12,s Axb1 122sskkkxAxb12,skkk121skkk ABn2nABABE2AAnEnABAB100031062AB七、已知二次型,且是矩阵的一个特征向量,（1）求 的值；（2）求正交变换,将二次型化为标准形；（3）当时,求的最大值.八、设,是数域上所有 2 阶方阵构成的集合,（1）证明：是的子空间；（2）求的一般形式、基和维数.22212312313,)2(2Tf x xxx Axxxxbx x1,1,1TAbxPy123,)(TxxfxxxA2Tx x 123,)(TxxfxxxA1302A2 2KK2 2,WB ABBA BK2 2KW