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1、2021年考研数学一答案及解析张 洁 石 家 庄 学 校(对 接 人：李静雅)一、选择题：(1)(10)小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸制定位置.尤力%=0处()11 x=0(A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值(C)可导且导数为0(D)可导且导数不为0答案：D分析：本题主要考查的是导数的定义，是用于处理分段函数分段点导数的常规题型解法：lim/(x)=1=/(0),在x=0处连续x-0eX-i尸(0)=lim 生=lim 工 =lim 亡 会=-x-0 x x-0 x x-0 x2 2(2)设函数/(x,y
2、)可微，且/O+1,ex)=x(x+l)2,/(x,x2)=2/e 元，贝！1)=()(A)dx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-d y答案：C分析：本题主要考查的是多元复合函数的偏导数及多元函数的全微分解法：r(o)=M目 +M,引=(x(i+x)2),u=0=i du dxx=Q dv dxx=Q z A ur=宾 乳/乳=1=(2，皿)5=2乳,1尸+乳I.乳 1)1 +乳=2%=0,知=1 故 d/(l,l)=dy 叫 i,i)(3)设 函 数/(X)=舞 在 无=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+c x 3,贝|()7(A)a=l,b=0,c=-6(B)a=l,b=0,c=7
3、(C)a=-l,b =-l,c =-767(D)a=-l,b =-l,c =6答案：A分析：本题考查的是常见函数在%=0点的泰勒展式解法：sinx=x-x3+o(x3)7 =1-x2 4-x4 4-o(x4)/(x)=(冗-X3+0(%3)(1 一冗2 +冗4 +0(工4)=x-专 炉 +o(x3)(4)设函数/(%)在区间 0,1上连续，则公/0)曲:=()(A)limZn=1/()岫 器 芸 舞(C)UT8 k T八 2 n，n(D)limn-oo K-1 7 W n答案：B分析：本题主要考查定积分的定义表示数列极限解法：由定积分的定义，积分可以表示任何分割任何取点求和的极限，此题为般等分
4、下，取n等分区间的中点求和的极限（5）二次型/（无1，*2，尤3）=（M +x2）2+（*2 +X3）2-（%3 -工1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）（A）2,0（B）1,1（C）2,1（D）1,2答案:B分析：本题主要考查二次型的正负惯性指数的概念解 法：/O1，久2,无3）=2靖+2 X 1*2 +2X2X3+2X/3=2 3+（%1 +久3）尤2 +）+2X/3-奥 萨 =2卜2+晋）2-殳 铲 故 正 负 惯 性 指 数 分 别 为1,1(6)已知=(2),3 =(1)，记 0 1 =al-p2=2 -4 0 1，0 3 =0 3 -1 1 0 1 -，2。2，若 0 1 平2
5、，。3两两正交，则，1，2 依 次 为()答案：A分析：本题主要考查施密特正交化过程0 3 =%-I色 一 1 2 色=%部色一缺色(。3，0 1)_ 5._(。3产2)_ 1(01小)-5 2(p2,fi2)(7)设 A,B为阶实矩阵，下列不成立的是()(A)r(o A？A)=2 r(A)(BC 第)=2 r(A)(C)0 篇)=2 A(2 为=2 4 4)答案：C分析：本题主要考查分块矩阵的秩，同一般矩阵一样在初等变换下秩不变解法：r(4)=r(/lr)=穴屋4),故r (4 *4)=2 r 又 r(4 4 B)=穴4),(点)=r(4)，故r(1 .)=2 r(4),且r(点 为=2 r
6、(4)而 r(4 B A)rr(4),故 C不成立(8)设4B 为随机事件，且0 P(B)P(4),贝!|P(R m)P(4)(C)若P(A|B)P(a E),贝！|P(4|B)P(4)(D)若P(4|4 UF)P(AA U B),则PQ4)P(B)答案：D分析：本题主要考查和、差、条件概率的基本公式解法：4 B,C选项均可由条件概率公式得出D 选项 P(AA U B)P(AA U B),即P(4 n(4 U B)P(A C(4 U B),P(A n(4 U B)=P，P(A n(4 U B)=P-P(4)故可得P Q 4)P(B)-P(4),故 D项是错误的(9)设5 1，匕),5 2，丫
7、2)，,“(*”,匕1)为来自总体2(1，2；城，6；。)的简单随机样本，令。=%前 2，灭=十！X iM ,0=X-Y,贝!)(A)是e的无偏差估计,。()=/誓(B)不是。的无偏差估计,0(0)=噂(C)8是。的无偏差估计，D(0)=宙+。丁 1。2(D)不是。的无偏差估计，。便)=垃 呻 3答案：C分析：本题主要考查二维正态分布的性质与数字特征解法:(x(,p),于是 XiN(1；嫉)，匕N(2；O且X i，Xz，X”相互独立，,上，,V相互独立，Xi，(j)相互独立，故 又 N(i，g),?N(2,3)，于是 是。的无偏估计量0(9)=D(X-F)=D(X)+D(P)-2Cov(X,Y
8、)=g +g-2Cog%i X j 匕)=4 +g-专 Co”(%I,%i 匕)=乎 +-今 n CovXb 匕)=+:P W 2(1 0)设X i，X2,Xi6是来自总体N(,4)简单随机样本，考虑假设检验问题：H0.n 10,中。)表示标准正太分布函数，若该检验问题的拒绝域为W=*2 11,其中X=则“=11.5,该检验犯第二类错误的概率为()(A)1-0(0.5)(B)1-0(1)(C)5)(D)1-P(2)答案：B分析：本题主要考查假设检验的第二类错误解法：假设检验的第二类错误p =P X lllH t)选 取 统 计 量 为 磊=2(又N(。,1)于是 p=p 2(X-11.5)0)
9、3 1扁 的 收 敛 域 为T，I故 起1 n(X)的收敛域为(0,1令 m=2二1 扁，f M=2二1。，C M =2二1肝一1=在；r (t)d t=,r a)-r(o)=-i n i i-t i i s =-m(i-乃f(x)=-l n(l-x),f(t)d t =一 J；ln(l t)d t=-t ln(l-t)|S +1；d t/(冗)一 /(O)=x ln(l x)4-dt=x In(l x)+x 4-ln(l-x)X=iUn(x)(e.xl-e-xeiI-+1+(1-x)I n(l-x)4-x故XG(O,1)%=1（1 9）（本题满分1 2 分）已知曲线求C 上的点到光。y 坐标
10、面距离的最大值分析：本题主要考查约束条件下的多元函数的最值解法：设(x,y,z)&C,则 d=z,令。=z 2 且:2 z _=1V4-X 十 Ly t-Z A U作 L(x,y,z,X,)=/+A(x2+2y2-z -6)+g(4 x+2 y +z -3 0)r Lx=2xA+4 =0Ly=4 y A 4-2 g =0 L z =2 z a +=oG=7+2y2-z-6 =0=4 工 +2 y +z 3 0 =0故%=4 y(x=4,y=l,z=2I x=-8,y=-2,z=6 6最大值为6 6（2 0）（本题满分1 2 分）设。u群是有界单连通闭区域，“0）=%（4 /一 y d x d
11、y取得最大值的积分区域 记 为。1（1）求/（。1）的值；、，g a。1 是小 的正向边界分析：本题主要考查二重积分的几何意义与计算；格林公式的应用解法：（1）z=4-x2-y2为开口向下的抛物面，二重积分的几何意义为曲顶柱体的体积,故积分区域为z 0的整个抛物面时体积最大，故此时积分区域为x2+y2 4/(。1)=fo d e J o(4-r2)rdr=8 7r,、令A p()(x=M+FV+*y),Q(x,y)=(4ye+4 y 2-x)x2+4y2且 型 _ =包dx dy故 需 补 线 炉+4 y 2=m（顺时针方向），记为I ,使其满足格林公式的条件(xex Z+4 y Z+ydx+
12、(4yex 2 +4 y Z-xdydD1+l x2+4y2=0故/孙(xe，+4y2+y)d x+(4yex2+4y2 X)dyx2+4y2(x e/+4 y 2 +y)d1r+(4 y e/+4 y 2 r)d yx2+4y2由格林公式 上 式=一；dxdy=*(-2)兀菅=一 兀其中0 为 好+4y2 =/所围成的面积(21)(本题满分12分)设 矩 阵 4=(；a-1-1 a/(1)求正交矩阵P,使P AP为对角矩阵(2)求正定矩阵C,使C2=(a+3)E 4,E为 3 阶单位矩阵分析：本题主要考查实对称矩阵的正交相似对角化以及正定矩阵的充要条件A-a -1 1 A-a -1 1解 法
13、:(1)AE-A=A=(A-a+1)=(A-a+1汽/矩阵有二重根a(a-1)E-4=盘 i=(1)，a2：(a+2)E-A =%=(1)邛 3信7;故 0=/7=1 人-a 1=(入a+1)-1 入 一a 11 1 k-a 0 1 1一a 2 0 1 入一a 1 0=(A a 4-1)(A a)(A tz 1)-20 1 1I-a-2)-1,单 根 a+20 m讣(一)()=看(力=产S/令 C=PPT,又C实对称且特征值为正，故C为正定矩阵，且满足C2=(a+3)E-A-L 31为所求矩阵(22)(本题满分12分)在区间(0,2)内随机取一点，将该区间分为两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长度记为匕 令Z=?(1)求 X 的概率密度(2)求Z的概率密度求E(-p-)分析：本题主要考查混合型随机变量函数的概率分布及数字特征解法：(1)令UU(0,2)0,F x M =PX x,1,x 00 x 1PX x=P X xtU l +PX l=Px xU 1PU 1+PX 1PU l =-+-=xfx(x)=1,0 x 10,其他(2)Z=+=.l 2 1Fz=0,z 1P Z lPZ z=P 攀 4 z=P Ry =P 4用
