《2021年中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨2022届高三7月诊断性检测 数学 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨2022届高三7月诊断性检测 数学 含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中学生标准学术能力诊断性测试2021年 7 月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i 是虚数单位，复数zi=l 2 i,则W的共甑复数z 的虚部为A.-i B.l C.i D.-l2.已知集合 A=xCR|log2Xba B.bca C.abc D.cabInx+1,x 05.已知函数 ,(e=2.71828为自然对数的底数)，若 f(x)的零点为a,极小值为许xex,x 0)的焦点为F,已知B(一与3p),(一3yo)且 yoO,且 yoO,抛物线E上一点A 满
2、足A B L B C,若线段A C 的垂直平分线/过点F,则直线/的斜率为V6 3+276 3+V6/TA.B.-C.D.V33 3 38.如图，在棱长为a 的正方体ABCD-AIBICIDI中，点 P 在侧面BBiCC(包含边界)内运动，则下列结论正确的有D.直线BDi，平面AiGDT T二面角B i-C D-B 的大小为一2过三点P、Ai、D 的正方体的截面面积的最大值为0 a 2三棱锥B i-A iC iD 的外接球半径为6 aA.B.C.D.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5 分，选对但不全的得2 分，有
3、选错的得0 分。9.下列命题中不正确的是A.随机变量 X N(3,22),若 X=2 i+3,则 D(n)=1B.已知随机变量自服从正态分布N(2,82),P化 4)=0.84,则 P(2 D.=2 212.画法几何创始人一一法国数学家加斯帕尔 蒙日发现:与椭圆C：鼻+2=1(。0)相切的两条垂直切线的交点轨迹为E：x2+y2=a2+b2,这个轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。下列结论正确的是A.己知椭圆C的长轴长为4,离心率为e=；。则椭圆C的“蒙日圆”E的方程为：x2+y2=7B.已知椭圆C：1+1=1(。人 0)的 离 心 率 为 也，A、B为椭圆C上的两个
4、动点，直线a h 2I：b x+a ya 2 b 2=0 上任一点 P,有 P A,P E i0Y2C.己知椭圆一+2=1,现将质点P随机投入椭圆C所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外2历 2 2部的概率为1 (椭圆二+二=1 的面积公式为S=a b 7i)3 a b-D.已知椭圆C：W +=i m b 0)的 离 心 率 为 ，F为椭圆的右焦点，A为椭圆上的一矿 b-24 也个动点，直线/：b x+a ya?b 2=0,记点A到直线/距离为d,则d|A F|的最小值为-y-b-2 a三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0分。1 3.已知向量。+坂=(1,1),a b (3,1),
5、c=(l,1),向量。与 c 的夹角 0=.1 4.已知函数f(x)的定义域为R,fx(+l)为偶函数，f(0)=l,则 f(2)=1 5.记表示与实数x 最接近的整数，数列 a j通项公式为an=(n GN*),其前n 项和为S n，则$33=X1 6.已知函数f(x)=s in x H-l n(l+x),则 f(x)的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。几1 一1 7.(1 0 分)在s in(B )=c os 2 B,2 c a=2 b c os A,2=(a+b,c a),=(a b,c),且加
6、 2n,这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答。在AABC中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且 o (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。)求 角 B；(2)若 D是 BC边的中点，且 a=2,AD=J7,求AABC的面积。18.(12分)十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作。某学校为了研究学生对时事了解的情况,在网上随机抽取120名学生对精准脱贫政策的了解情况进行调查，其中男生与女生的人数之比 为 11：1 3,其中男生3 0 人对于精准脱贫政策了解，女生中有2 5 人表示对精准
7、脱贫政策不了解。(1)完成2 X 2 列联表，并回答能否有90%的把握认为对“精准脱贫政策了解与性别有关”；了解不了解总计男 生.女生合计120(2)从对精准脱贫政策了解的学生中，利用分层抽样抽取7 名学生，再在7 名学生中抽取3 名学生，作精准脱贫政策了解的政策讲解，其 中 抽 取 女 生 的 个 数 为 求自的分布列及期望值。参考公式：K2n(ad-hc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12 分)已知数列 an 的前 n
8、项和为 Sn，a i=l,Sn+i=Sn+2an+l,nSN*.(1)求证：数列 an+1 是等比数列;2n(2)数列-卜的前n 项和为Tn，nW N*,求证：T0时,证 明：f(x)2a。2 222.(12 分)已知椭圆 C j+y =l(a 0 0),四点 A(2,1),B(2,一 1),C(l,1),D(0,百)a b中恰有三点在椭圆C 上。(1)求 C 的方程；(2)点 M、N 在 C 上，且 AMLAN,AD1MN,D 为垂足，求 D 点的轨迹方程。中学生标准学术能力诊断性测试2021年 7 月测试数学参考答案项符合题目要求，全部选对得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分.
9、9101112BCBDACACD三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.-（或90。）214.115.10.516.0四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）解析：(1)由 sin(3-g)=cos2B,得-cosB=28$?B-1,即 cosB=；,或cos8=-1,又；B e(0,n),因此8=g.5 分12,2 _“2根据余弦定理，由2 c-=2bcosa,得2i=24 二 ,2bc日2 2 72+C2-b2 1即 Zr=(r +c1 ac,cos B=-=，2ac 2X-.-Be(0,K),/.B=.5 分
10、根据记 _ L 方，得 b2=a2+c2-ac,cosB=a =,lac 2又.5w(U),.B ug.5 分（2）在中，由余弦定理得4/）2 =4 炉+&？_ 2 4 0 5。（8，又；AD=y p，BD=，:.AB2-AB-6=0 解得 A B=3,所以/BC 的面积S=L,l B.8 as in 8=4 x 3 x 2 x =.1 0 分2 2 2 21 8.（1 2 分）解析：（1）男生人数为：1 2 0 x 一=5 5,所以女生人数为1 2 0-5 5 =6 5,1 1 +1 3于是可完成2 x 2 列联表，如下：了解不了解总计物生3 02 55 5女生4 02 56 5合计7 05
11、 01 2 0.3 分根据列联表中的数据，得到二的观测值：公=1 2。*（3。*2 5-2 5 4。尸=您=0$9 9 2,7 0 6,5 5 x 6 5 x 5 0 x 7 0 1 0 0 1所以没有9 0%的把握认为“精准脱贫政策了解与性别有关”.6分（2）根据分层抽样比例关系可知男生抽7、二=3 人，女生抽4 人.7分依题可知 4 的可能取值为0,1,2,3,并且 服从超几何分布,上0 3-上尸 片=幻=（左=0/，2,3），1 cc；即尸（0）=者=痣，尸 3=1）=m=尸（=2）=卑=竺，P情=3）=年=应C；3 5 .C；3 51 23 5可得分布列为可得 E(G =0 x-L +
12、l x g +2 x 曳+3 x =U3 5 3 5 3 5 3 5 70123P13 51 23 51 83 543 51 0 分1 2 分19.(12 分)解析：(1)cS z=S”+2 q+l,1 -S“=2an+1,=2%+l,a,+1 a*+1又T a L l,;.4+1=2,+1是首项为2,公比为2的等比数列.6分(2)由(1)知+1=2-2T=2,2”_ 2 _ _J_1a j%=(2-1)-(2-1)=2 1-2-1 _ 1 1 1 1 1 1=百-仃+一 月+仃-?=1-2n+1-l 1,U 0),则尸.3 分(I)证明：依题意，9=(1.0,0)是平面4DE的法向量,又 访
13、=(0,2,方),可得而.运=0，又因为直线B F a平面4DE,.1BF 平面4DE.6分(2)依题意，BD=(-1,1,0),5F=(0,2./),设记=(x,y,二)为平面ADF的法向量,in-BD=0_ _ _ _ _ 即m BF=0则一x+y=02y+力 二=0不妨令y=l,可得而=1,_ ,丽=(1,0,-2),而=(0,1,-2)设瓦=(%,必,二J为 平 面 的 法 向 量，V 17 1g r r l l l 8 8 VC-BDF=VF-BDC=5A B D C -X-X 2 X 1 X=.12分21.(12 分)解析：(1)当=1 时，/(x)=ex-1-l n x,定义域为
14、x|x0,r(.r)=e1-1-.2 分X令Mx)=/(x)=e Z-g ,M)在(0,+oo)上单调递增,X/(l)=e-l=0.4 分/.X(O,1),A(x)0,f(x)0,f(x)Q f/(x)为增函数,/(x)增 区 间 为 减 区 间 为(0,1).(2)当4 0时，/7 x)=ex-1-=X X令g(x)=xeT,则g0,.g(x)=xeT 在(0,y)单增，且 g(x)w(0，+0 满足e i =且当 0 丫/时，xe,T-a 0,即/（x）0,即/（x）0.因此/（%）为x）在（。，口）上的极小值，也是最小值.9分下证：/（x0）,即证e T-l n.%，,二=JLf.r0-
15、l =l n f l-l n.r0,于是e T -f l l n x0=-（l n 2 -a x0-a-ana=a-ana,不等式得i 正.1 2 分22.（1 2 分）解析：（1）根据椭圆对称性，必过点1，B,又。纵坐标为1,椭圆必不过C,所以过Z,B,D三点、,今=1,将0（0.6）,4（2.1）代入椭圆方程得:解得：/=6,b2=3.3 分9 2所以c 的方程为二+匕=1.4分6 3（2）设M（xi，%）,N（x2,y2）9若 直 线 与 x 轴不垂直，设 直 线 的 方 程 为 =卜+/,代 入?+?=1 得（1 +2 M 卜2+4 方 心 +27 2 6 =0,由 A 0 得6 二
16、一 J+3 o,于是再+x2=4 kHil +2 k22 J-61 +2/6分由 W _LHN知 而 京=0 ,故（巧-2）（.巧-2）+（为-1）（%-1）=0 ,可得（1 +M 卜 1 工，+（幻”-4-2）（演 +x,）+（7/i -1）+4 =0,将代入上式可得：+4 =0 ,整理得（2+3 /+1）（24 +吁 1）=0 ,若2左+-1 =0则MV的方程为，=去+1-2上，此时直线过点（2,1）与点/重合，舍去.2+7?/-1#0,故 2A +3 1 +1 =0,此 B寸（）,于 是 的 方 程 为、=上卜_|）_；,所 以 直 线 也 过 点 尸.若直线MV与X轴垂直，可得N（演，-）,由 而 京=0 得（再-2）（甬-2）-（%-1）（必 +1）=0 ,7 2又 忙+江=1,可得3蜡-8怎+4 =0,6 3解得斗=2（舍去），X =g,此时直线MV过点尸令0为4P的中点，即若。与尸不重合，则由题设知月产是R tA J D P的斜边,若。与尸重合，则|。|=3以 尸|综上,存在点003）,使得口0|=孚，故D点轨迹是以0为圆心，逑为半径的圆，3轨 迹 方 程 为:+L_lf
