《《微积分课后习题答案》习题 九》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分课后习题答案》习题 九（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章无穷级数习题解答(A)1.写出下列级数的一般项:(1)(2)(3),1111-1-1 ;2 4 81 2 3 4 I-1-1-F ;2 5 10 17c 3 4 52-1-1-；2 3 4(4)1 X X2-1-1-1-4 4-7 710 x3H-F ；1013解(1)该级数一般项为=HT(2)该级数一般项为“-(=L2,);(3)该级数一般项为(4)该级数一般项为Un-(3/7-2)(3+1)(=1,2,);_(一1广(+1)Un-n尤 T(=1,2,)：(=1,2,).2.设 级 数 的 部 分 和 为n=-,求 4,%和 Un-+1解因为级数的部分和k=l所以%=s“-s,w(S(
2、)=0)于是3 x 1T+T32=S 3 x 2 32=s_s=3*3 i n+l(n-l)+l n(n +l)3.证明下列级数收敛，并求其和.(1)V-(2-1)(2 +1)，(2)工 阡 一 品;n=i Jn+n8 1(3)V-；占(4-1)(4 +3)(4)y-T.仁2(+1)2解(1)该级数的前项部分和为s-y 1 台(2Z 1)(2女 +1)_ J _12 t f (2 2T)(2.+1)12-3+3-5+1d-2几 一12H+1因为 极限一一二 =，存在，所以该级数收敛，其和“Too 2 1 2n+l J 2(2)该级数的前项部分和为_ y J氏 +1 _&V F+I+1 -ykk
3、=y/kk+lJk+1因为极限l i m S“=l i m(l-=1存在，所以该级数收敛，其和为1.i y/n+J(3)该级数的前项部分和为s-y 1 (4 1)(4 4 +3)因为极限l i m S =l i m (1二=-存在，所以该级数收敛，其和 一 8 n 4 13 4/7 +3 J 12(4)该级数的前项部分和为=金2%+1 一 打(攵 +1)2n=Ek=1 1k2(4 +1)2,1 1 1 1 1=1-7+-T-1-1 7 -7-722 22 32(+/(+以因为极限l i m =l i m 1二=1 存在，所以该级数收敛，其和为1.i1 (+1)4.利用无穷级数的性质判别下列级数
4、的敛散性：、71 7t 7t(1 )C O S +C O S-FC O S 十 ；4 5 6oozn=n-yn2一l(3)(4)zM=112+(-3)6 1 1-1-1-F (6)11 128l +6 +之n=l13vn(7)oo久”Tn=!（10）LLLLLL2 10 4 20 8 3 0解兀(1)此级数的一般项为“=c os.+3TT因为l i ra%=l i m c os-=c os 0=l w 0,所 以,由级数收敛的必要条I1一 8 +3件，可知，级数A co s2发散.念 +38 C O 1(2)几 何 级 数 中 的 公 比|同=上1，因 此 收 敛.n=l 4 4 ,1=1 4
5、 由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数1 二 12 H F 收敛.5 (3)此级数的一般项为2n-因为l i m“=l i m纥 所以，由级数收敛的必要条件，可知,-8 T8 2 1 2级数”业 发 散占 2-1(4)此级数的一般项为”=1+(5)8 1 8 (I 1因 为 几 何 级 数(公 比 团=上 1)与Z 一上(公 比|%|二上1)”=13 3 =1 V 2 7 2oo均 收 敛，由收敛级数的性质可知，级 数z=12+(-3)6收敛.8 1(5)原 级 数=上.=11 OO1OO1由于调和级数上发 散，去 掉 它 前 面 的10项 后，所 得 级 数 士仍发散
6、.，曰 =】（6）几 何 级 数“=|In 21nO 8中 的 公 比 同=u i,因 此X2n=lIn 2收敛.由 收 敛 级 数 性 质：收 敛 级 数 加 上 有 限 项 后，仍 为 收 敛 级 数，可知级数1+6+”=1In 2收敛.（7）此级数为几何级数，其 公比为q=4,即M I=g L所以该几何级数收敛.（8）此级数的 般 项 为%1 y因 为l i m“=l i m|j iw o,所 以，该级数发散.1（9）此级数的一般项为“=3”6因为几何级数 二（公 比|引=1 1）与（公 比|%|=1）=13 3 M=i 7J 7均收敛，由收敛级数的性质可知，级 数 n=lF+6收敛.0
7、O（10）若该级数收敛，则加括号后仍收敛，即级数ZM=1收敛.8 1 1又因几何级数Zr（公比|q|=0)；白 1+废)(9)2 22 23 24-+-+-+-+,1-3 3-32 5-33 7-34-(10)n-E7t 71t an ；=3 几 (12)y-；=/i”+i,曰(+i)解1 1 8(1)因为/=-0 (=1,2 )而 调 和 级 数 发散，由正项2n-l 2n=1 2n级数比较判别法可知，级数l i m“=l i m 一 发散.T8 一 8 2 一 11 1 8(2)因为0 M,=F 8 +(3)因为而 几 何 级 数 暂 收 敛，山正项级数比较判别法的极限形式可知，级数8n=
8、n2/z +ln|收 敛(4)因为T=0(n =l,2,-).v=0.当 一 +8 时，无穷小量 s i n ,因 此T T.兀us m 诉l i m =l i m J=l i m 二万.“Tg y w 1 -8 /2T8 1而 几 何 级 数 收 敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数n=l 2之s i n$收敛.n=l 幺(7)因为“=1 1 0(/I =.vw=-0.1 +n nl i m=l i m=1+8 .而调和级数士 发散，由正项级数比较判别法“T8 匕，+急00 1 I的极限形式可知，级数发散.占1+2(8)当0。1时,1 1 8 因 为 -=且几何级数一收敛.1 +Q
9、Q =1。8 1所以，由正项级数比较判别法可知，级数收敛.1+优综.上 所述,当01忖，原级数收敛.(9)因为un=(=L2,)M 0lim%=lim 一=0而 几 何 级 数 收 敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，原级数收敛.(1 A1(10)因为=ln I+0(几=1,2,).匕=0.k n)nu(1 v*-lim=limln 1 +=1 0(几 2 3).匕,=了 0.n n n 二 11加 劣=1加九/2=v+o o .而p-级 数X4收 敛，所 以 级 数10%mg/n TZi nEJt tan 71 收敛A,.n=3 Y lT1(1 2)因为,=TT0=0.(o+l)nI”1
10、 8 1，-=J_+8.而p 一级数收敛，所 以 级 数n+lj e 狙 X-g收敛t r(n+l)n+16.利用比值判别法判别下列级数的敛散性:z1 3 5 7”+升矛+;,、，1 1 1(2)14-1-1-1 ,；2!3!4!8|(3)y-；f22n-(2n-l)(4)V?-3-；，+1)!6 (1+)！W=1 乙O O 2(6)M=1 J(7)(8)ntrio75(9)2 22 23 24-1-1-1-F ；1-2 2-3 3-4 4-5O O(1 0)=1解(!(2)！(1)由 于 也=1-h-2/i+1可知lim 殳a=lim 一 81、=L因此，该级数收敛.2(2 1)2(2-1)
11、/2-2(2-1)(2)由 于 况=L11/!+1可知l i m -=l i m!=0 1.因此，该级数收敛.，n+J.-(2-1)2H-1un 22+1(2n+l)4(2n+l)可知l i m +1=l i m -T8 uH w04(2n +l)=-1.因此,4该级数收敛u,3”“/(2+3)!3(4)由于l i m-=l i m-=l i m-=0 8 n o o 3 7(2/2+1)!2+3因此，该级数收敛.(5)由于l i m殳里 =l i mT8 Un 一 8产=q=+8i.(“+l)!/2 i 2因此，该级数发散.(6)由于l i m%=l i m(+1(1+!=-1.因此，该级数
12、发散.T8 Un 7 2 +2 2 今(10)由 于 向-5+1 丁?)!_ (+1)一%2(n+l)!2(2+1)(2+2)可 知 l i m -=li m-=-8 8(2n+l)(2n+2)47.利用根值判别法判别卜.列级数的敛散性:(1)O OZW=1n(2)ooZW=13T(a rc t a n n)，?(3)ooXn=l3+2n(4)解(1)2 +lq_Lr+iz/=l。n啊=n3n+l,li m/w-=li m-=-j 8 Y T8 2/z+1 2因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数发散.(4)中 等，则 相=星 *1 i 0 1,因为,+,(=1,2,)，且 li m“T8h
13、mj=0,因此，交错级数o ozn=1册满足莱布尼兹条件,级数收敛.而正项级数z”=1(-发散.因此，原级数条件收敛.n=7 n(3)正项级数n=(-i f1n-2O O 1y 收敛(比值判别法).因此，原级数绝对念2收敛.、T/1 ,因为=li m =1H 0 ,从而“Too n oo +li m un H 0 ,n可知，原级数发散.(5)i S M =FSnT-1,因为 l=s i n 牛J(=1,2,),几 何 级 数 =收 敛，由 正 项 级 数 比 较 判 别 法 知s i n把 收敛，即原级数绝对收敛.=i =i 2 7(6)记0 W同=?2 s i n把W?2 .设 匕=2 2,
14、则因为nn 5 nn ntl2用(+1)!/(+1)用Tnlnn=li m2 =2e T8 y 一 8所 以 正 项 级 数=之?2收敛.由比较判别法可知,=却h*si喈M=1 M=1 11 收敛，故原级数S 2 2 sin Un=5绝对收敛.(7)记 =-0 n l,因为+n 2,n-nco 0而 调 和 级 数V-发 散，n=2由 正 项 级 数 比 较 判 别 法 可 知 原 级 数zn=2发散.(9)记“=(-广2n3,因为(n+l)72，+l _ lf +l3/2li mT 8“+1l=r1.由比值判别法可知，级数I=4收=1 M=1 2112n38 .32n敛oo(1、一 3即，原
15、级数绝对收敛.”=2/2+(T)/2 i,而级数n4(10)因为|“|=5OO Q收敛，所以原级数绝n=,/对收敛.9.求下列嘉级数的收敛域:2 3 4/、XXX(1 )X-1-F2 3 4(2)1 X X2 X3I H-1-1-F ；2!4 6!(3)y _ _ (2“-1)(2)(4)I X X2 X35+声+方+;(5)oo n 1X(6)X2 X31-1-5V2 52V3 53V4(7)Z 6 GM；=1 十H ；(8)由3；=0(9)1+2%+”2+,16上 +；7 5 V13-53 717-54(10)X!尤；=0(11)3 2/1-1zn=ln由 li m4红=1,18 an得到
16、收敛半径R=l.当=-1时，它成为级数之=f,该级数发散；当元=1时，它日 =1几成为交错级数X2，该级数收敛.所以，原级数收敛域为(-口.(2)a=-,(2(/7-1)!由 l i m =O,8。得到收敛半径7?=+,收敛域为(一8,+8).c o E=】(2H-1)(2H)(2n-1)(2)解由 1加 色 包=1,nfg an得到收敛半径R=l.当=-1时，级 数 之 一 且 丫 一 =【匚一该级数收敛；当(2-1)(2”)占2一1 占 28 1X =1时，级数Z-收敛.所以，原级数收敛域为-1,1.急(2-1)(2”)*r1得到收敛半径R=2.1 8 8 1当尤=-2时，级数上一,该 级 数 收 敛；当x=2时，级数!发散.乙 =乙 n=乙所以，原级数收敛域为-2,2).由 lim%1*=得到收敛半径R=3.当x=3时，交错级数 之 且 上 收 敛；当x=3时，级 数 发 散.所 以，原n=i =i n级数收敛域为一 3,3).得到收敛半径R=5.当x=5时，级数3发散；当x=5时，交错级数反印一收敛.所以,=i Tn原级数收敛域为(-5,5.得到收敛半径R=13当冗=时，交错级
