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1、第一章 集合与常用逻辑用语一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 将命题“x2+y22xy”改写成全称量词命题为（ ）A. 对任意x,yR,都有+2xy成立B. 存在x,yR,使+2xy成立C. 对任意x0,y0,都有+2xy成立D. 存在x0,y4的充分不必要条件B. 若p:a,b为无理数,q:ab为有理数,则p是q的充分条件C. m2是|m|2的充要条件D. 若p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直,则p是q的充要条件10. 已知集合M=x|,N=x|ax=1.若NM,则实数a的值可能为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 211.
2、 已知集合,集合,则( )A. B. C. D. 12. 已知集合，则的必要不充分条件可能是（ ）A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“”的否定是.14. 设全集，若，则集合.15. 已知“”是“”成立的必要非充分条件，请你写出符合条件的实数的一个值16. 已知集合，设集合同时满足下列三个条件：；若，则2xA；若x，则2x（1）当时，一个满足条件的集合是（写出一个即可）（2）当时，满足条件的集合的个数为四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12.0分)已知集合A=x|axa+3,B=x|x1.
3、(1)若AB=,求a的取值范围;(2)若AB=B,求a的取值范围.18. (本小题12.0分)已知集合，且.（1）求实数的值；（2）若，求集合.19. (本小题12.0分)已知命题“xR，ax2+2x+10”为假命题，求实数a的取值范围.20. (本小题12.0分)在；“”是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，.（1）当时，求；（2）若_，求实数的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）21. (本小题12.0分)求证：一元二次方程ax2+bx+c0有一正根和一负根的充要条件是ac022. (本小题12.
4、0分)已知集合问是否存在，使（1）中只有一个元素；（2）中至多有一个元素；（3）中至少有一个元素若存在，分别求出来；若不存在，说明理由1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】ABD10.【答案】ABC11.【答案】BD12.【答案】AB13.【答案】x0R，x02-x0+3014.【答案】15.【答案】（答案不唯一，只需满足即可）16.【答案】（或或或）17.【答案】解:(1)因为AB=,所以解得-6a-2,所以a的取值范围是-6a-2.(2)因为AB=B,所以,所以a+31,解得a1,所以a的取值范围是a1.
5、18.【答案】解：（1）集合A=1，3，x2，B=1，2-x，且BA，2-x=3，或2-x=x2，解得x=-1，或x=1，或x=-2，当x=1时，A=1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去，当x=-2时，A=1,3,4,B=1,4,满足，实数的值为x=-2；（2）由（1）得A=1，3，4，B=1，4，BC=A，集合C可能为3或1，3或3，4或1，3，4.19.【答案】解：因为命题“xR，ax2+2x+10”为假命题，所以它的否定：“xR，ax2+2x+1=0”为真命题，即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根，当a=0时，方程化为2x+1=0，显然有解；当a0时，应满足=4-4a0，解得
6、a1且a0；综上知，实数a的取值范围是a|a120.【答案】解：（1）当a2时，集合Ax|1x3，所以ABx|-1x3；（2）选择、因为ABB，所以AB.因为，所以.又因为，所以，解得0a2，因此实数a的取值范围是0a2选择、因为“xA“是“xB”的充分不必要条件，所以.因为，所以.又因为，所以，且等号不同时成立，解得0a2，因此实数a的取值范围是0a2选择、因为，而，不为空集，所以或，解得a4或，所以实数a的取值范围是a4或21.【答案】证明：（1）充分性：由ac0可推得b2-4ac0及（x1，x2为方程的两根）所以方程ax2+bx+c0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2+bx+c0有
7、一正根和一负根，充分性成立；（2）必要性：因为方程ax2+bx+c0有一正根和一负根，所以b2-4ac0，（x1，x2为方程的两根），所以ac0，必要性成立；综上所述，一元二次方程ax2+bx+c0有一正根和一负根的充要条件是ac022.【答案】（1）当时，方程只有一解，即,此时中只有一个元素；当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.综上所述：当或时，中只有一个元素.（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.由（1）可知或时中只有一个元素，而，即时方程无解，为空集，综上所述：当或时，中至多有一个元素.（3）中至少有一个元素，即方程有解，时，即，其中时，方程有两个相等的根，.若，方程有两个不相等的根，此时.时，方程有根，.综上所述：时，中至少有一个元素.
