《上海初中名校卷 上海市徐汇区南洋模范初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（含详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海初中名校卷 上海市徐汇区南洋模范初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（含详解）（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20212022学年上海市徐汇区南洋初级中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6 小题，每题4 分，满分24分）1.下列各组的四条线段a,b,c,是成比例线段的是（）A.。=4,b=6,c=5,d=10B.。=1,h=2,c=3,d=4C.b=3,c=2,d=73D.a=2,b=逐,V152.在用ZA 3c中，ZC=90,若 AC=6,B C=8,则 cosA 的 值 为()3A.一54B.-5D.3.在 必 a A B C 中，Z C =90,AC:BC=l:2,则 N A 的正弦值为（C.2D.4.如图所示，某校数学兴趣小组利用标 杆 座 测量建筑物的高度，已知标杆 腿 高 1.
2、2m,测得AB=1.5m,8 c=12.5m,则建筑物CO的 高 是（）A BA 10mB.11.2mC.12mD.12.2mA.好5B,巫5DCc-;34)25.如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1,ABC的顶点都在网格的交点处，则N A 5C 的正弦值为（）6 .已知四边形A B C。满足A方=o C,且|入月+,/5 1=|/1月-4 5 1，那么四边形A B C。的形状是（）A.矩形 B.菱形 C,正方形 D.等腰梯形二、填空题（本大题共12小题，每题4 分，满分48分）7 .在比例尺1：5 0 0 0 0 0 的地图上，量得A、8两地的距离为4 c m,贝 I J A、8两地的
3、实际距离是一千米.8 .若 s i n（x-3 0 ）=,贝!|x.29.要使二次根式Jx-s i n 3 0 有 意 义,则x 的取值范围为10 .如图，已知 A D E 和 A B C 的相似比是1：2,且 A D E 的面积是1,则四边形。B C E的面积是BC=/11.如图，R t Z X A B C 中，12 .如图，在 R/AABC中rCD是斜边AB上的中线，已知C D=2,A C=3,则 cos A=_ _ _ _ _3,N A C 3=90,CD ABf tanZDCB=-,A C=1 2,则413.已知线段AB长是2,P 是线段AB上的一点，且满足AP2=AB8 P,则 AP
4、长为.14.已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3 g,则这个锐角的正切值为15.已知：ABC中，AB=5,A C=4,点。在边AB上，点 E 在边AC上，A D=2,当AE=时，AABC 和AOE 相似.16.如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB=.17.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 1 5 时，如图，在 RtACB 中，ZC=90,ZABC=30,延长 CB 到点 D,使 BD=AB,连接 AD,s r 1得/D=15,所以tan 15=7=.类比这种方法，计算-的值为CD 2+J3 tan 22.518.如图，在矩形A
5、BC。中，E、F、G 分别是边AB、B C、上点，且NFEG=90,EG._,_ AB BE 3=6,GF与 AC交于点M,若 一=一，则加尸=BC CF 4三、解答题（本大题共7 小题，满分78分）4 219.计算：6 s i n3 0 0-cos 3 0 -2 t a n45+-.3tan 602 0 .如图，在等边AABC中，D为 BC边上一点，E为 AC边上一点，且/A D E=6 0 .（1）求证：A B D s/D C E；（2）若AABC的边长为9,B D=3,求 CE的长.A D C2 1.如图，已知平行四边形A 8 C Z）,点 M、N是边。C、2C的中点，设 荏=,AD=b
6、-（1）求向量丽；（2）在 图 中 求 作 向 量 而 在 瓶、而方 向 上 分 向 量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.2 2 .永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门 截面示意图.身 高 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面“处时 测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30。；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为6 0.如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1 米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计.6 土 1.7 3,最后结果精确到0 米.）A2 3.如
7、图，四边形ABCD中，A D B C,A C,BD交于点E,过点E作 M N A D,分别交 A B,CD于点M,N.(1)求证：A M E Z A B C；(2)求证：L +LME AD BC(3)若 A D=5,B C=7,求 MN 的长.2 4 .如图，在矩形A BCD中，A B=4,A D=I O,Z M P N=90 ,将NMPN的顶点P 在矩形A B C D 的边AD上滑动，射线P N 经过点C,射线PM交直线AB于点E,交直线BC于点F.(1)求证：A E P s a D P C；(2)在点P的运动过程中，点 E与点B能重合吗？如果能重合，求 AP的长；(3)当 D P C 的面
8、积等于 A E P 面积的2 倍时，求 t an/A P E 的值.2 5.如 图(1),在四边形 A 8C Z)中，AB/DC,CBLAB,4 8=1 6 c m,BC=6cm,C D=8 c m,动点P从点D开始沿D A边匀速运动，动点Q从点A开始沿A B边匀速运动，它们运动速度均为2 c m/s.点 P和点。同时出发，设运动的时间为f(s),0 f -2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围.【详解】解：二次根式J x sin30。被开方数为x sin30。A x-s in 30 0又sin 300=2/.x-0,解得 x N 2 2故答案为-X .2【点睛】此题主要考查了
9、二次根式有意义的条件和特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的基础知识和特殊角的三角函数值是解题的关键.10.如图，已知人)后和ABC的相似比是1：2,且AOE的面积是1,则四边形。BCE的面积是.【答案】3【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出AAOE与 的 面 积 比，计算得到答案.【详解】解：.AOE与ABC的相似比为1：2,.ADE与48C的面积比为1：4.AOE与四边形。BCE的面积比为1：3.AOE的面积是1,四边形DBCE的面积是3.故答案为：3.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.11.如图，R taA B C中
10、，CD是斜边A B上的中线，已知CD=2,A C=3,则 c o s A=.【答案】0.75；【详解】试题解析：.直角 ABC中，CD是斜边AB上的中线,，AB=2CD=2x2=4,312.如图，在 中，/ACB=90,CD LAB,tan/Z)CB=，A C=1 2,则BC=【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到N B C=/A,根据正切的定义计算即可【详解】解：4 4。=90。，ZA+ZB=90,：CDLAB,：.NBCD+/B=90,；./BCD=NA,在防 ACT?中，3 BC：tanA=tan NBC)=-=，4 AC3 3BC=AC=xl 2=9.4 4故答案为：9.【点
11、睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键.13.已知线段A8长是2,P 是线段4 8 上的一点，且满足AP2=ABB P,则 AP长 为 一.【答案】V5-1【分析】根据黄金分割点的定义，知小是较长线段，得出42=叵 口4 8,代入数据即2可得出A P的长.【详解】解：尸是线段A 6 上的一点，且满足A P 2=A B-8 P，.BP AP A?Afir.P 为线段A B 的黄金分割点，且 A P是较长线段，AP=避 二1 =造二=2 2故答案为：V 5-1.【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这
12、个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为避二1 是解决本题的关2键.14.已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3 3,则这个锐角的正切值为【答案】3tan cz+cot a =3【分析】设这个锐角为a,根据题意和三角函数的性质可知：3,解方程tan a cot a =1即可.【详解】解：设这个锐角为a,.tan a +cot a =3/.3tan a cot a =1由，得c o ta u -ta n a 将代入，得t a n a*成 卜解得:t a n a =-或 t a n c =3当 t a n a =时，3/.c o t a =
13、3 t a n a：a的正切值比余切值大此时不符合题意，舍去；当 t a n a =3 时，1c o t =-与A A B C相似时，则 一 =或=，分情况进行讨论后即可AD AC AE AC求出4 E的长度.A F A B【详解】解：当=时，AD AC：N A=/A,AES&B C,此时A E=AB-AD 5x2AC-丁52,AD AB当一=时,AE AC：N A=N 4,A A DE A A B C,此时A =AC*ADAB4 x 2 8故答案为：一或一.2 5【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论.16.如图是装了液体的高脚
14、杯示意图，用去一部分液体后，此时液面48=.【分析】利用相似三角形对应边的比高的比即可求得结果.【详解】如图，过点E 作 EFJ_CE于 F,过点M 作于N则 EF=15-7=8(cm),Af7V=ll-7=4(cm):M A B sg C D _A_B_ _ _M_N_CDEFAB=MN CD 4x6EF=3(cm)8即液面AB的宽度为3cm.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，实际问题转化为数学问题并利用相似三角形的判定与性质解决是关键.17.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 1 5 时，如图，在 RtACB 中，NC=90,ZABC=30,延长 C
15、B 到点 D,使 BD=AB,连接 AD,得/D=15,所以tan 15A C _1CD-2+V3类比这种方法，计算1tan 22.5的值为【答案】V2+1【分析】RtaACB中，NC=90。，ZABC=45,可知AC=BC,延长CB到点D,使BD=AB,得ND=22.5。，根据勾股定理求出A B=JC，可求CD=(1+72)A C,利用定义求tan 22.5。，取倒数即可.【详解】解：在 RtZkACB 中，ZC=90,ZABC=45,；.AC=BC,延长CB到点D,使 BD=AB,得/D=22.5,根据勾股定理 AB=VAC2+BC2=A/2AC2=V2AC-CD=BC+BD=AC+AB=
16、(I+&)AC,AC _ AC _ 1tan 226。=CD-(1+V2)AC-1+V2 故答案为：V2+1.【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键.18.如图，在矩形ABC。中，E、尸、G分别是边A8、BC、AO上点，且/尸EG=90,EGAn RF 3=6,G尸与AC交于点M,若 丝=把=三，则 尸二BC CF 4AB BF 3【分析】由-=-=一，设AB=3x,则8C=4x,设BE=3y,则。尸=4y，根据条件可得BC CF 49/AEGS/B F E,可得AG=y,再由AO8 C,可得 A GMSZ C FM,由勾股定理可得4EF=8,GF=10,由 尸二3 G尸即可求解.25A3 BE 3【详解】由-=-,设A5=3x,则8c=4x,设3E=3y,则。尸=4BC CF 4/FEG=90,且四边形ABC。为矩形ZAGE+ZAEG=90,ZAEG+ZBEF=90 NAGE二 NBEF：.RtAEGRt/BFE.AG AE EGBEBFEF口 AG 3x-3y即 一=-3y 4x 4y.“9 AE EG 3
