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1、2022-2023学年吉林省通化市梅河口市高一下学期期末数学试题一、单选题1已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（）ABCD【答案】A【分析】依题意求出圆锥的底面半径和高即可.【详解】圆锥母线为，底面半径为，则，所以圆锥的体积故选：A2若，则事件与的关系是（）A事件与互斥B事件与对立C事件与相互独立D事件与既互斥又相互独立【答案】C【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.【详解】，事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C3在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）都垂直于平面r，那么都平行于平面r，那么都垂直于直线l，那么如果l
2、、m是两条异面直线，且，那么A0B1C2D3【答案】D【分析】在正方体中观察可判断；由平面平行的传递性可判断；由线面垂直的性质可判断；根据面面平行判定定理可判断.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故错误；由平面平行的传递性可知正确；由线面垂直的性质可知正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，所以，所以因为，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故正确.故选：D4甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（ ）ABCD【答案】B【分析】从甲校和乙
3、校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有，共计4个，故选出的2名教师性别相同的概率为故选：B.5已知向量，若，则（）ABCD【答案】C【分析】首先求出的坐标，依题意可得，则，即可得到方程，解之即可.【详解】因为，则，所以，因为，所以，所以，即，解得.故选：C6如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，
4、水面恰好为（如图2），则容器的高为（）AB3C4D6【答案】B【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.【详解】解：在图（1）中的几何体中，水的体积为,在图（2）的几何体中，水的体积为：，因为，可得，解得.故选：B.7在正四棱锥中，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线AC，BM的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与异面直线所成角的关系即可求解.【详解】设AC，BD交于点O，以O为原点，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，
5、所以，设异面直线AC，BM所成角为，则故选：D8已知中，且，则（）ABC8D9【答案】B【分析】利用向量的运算以及模长公式求解.【详解】因为，所以因为中，所以.故A，C，D错误.故选：B.二、多选题9为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：.则下列针对该组数据说法正确的是（）A平均数为89，方差为3.06B中位数为90，众数为88和92C每个数都加5后平均数和方差均无变化D分位数为93，极差为19【答案】BD【分析】根据平均数、方差、中位数、众数和极差的概念，逐项进行计算验证即可求解.【详
6、解】对于A，平均数为，方差，故选项A错误；对于B，中位数为，众数为和，故选项B正确；对于C，根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5，方差不发生改变，故选项C错误；对于D，因为，所以的第分位数为93，极差为，故选项D正确，故选：BD.10已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（）AB向量在向量方向上的投影向量为CD若，则【答案】ABD【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项【详解】由图可得，对于A，故A正确；对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；对于C，所以，故C不正确；对于D，因为，所
7、以，故，故D正确.故选：ABD11甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10则（）A甲的环数的70%分位数是7B甲的平均环数比乙的平均环数小C这20个数据的平均值为6.6D甲的成绩比乙的成绩更稳定【答案】BCD【分析】根据百分位数的定义可求解A选项；根据平均数的公式可求解B、C选项；根据方差的公式可求解D选项【详解】对于A，因为，所以甲的环数的70%分位数是，故A错误；对于B，所以，故B正确；对于C，这20个数据的平均值，故C正确；对于,，故D正确故选：BCD12某圆柱的侧面展开
8、图是长为4、宽为2的矩形，则该圆柱的体积可能为（）ABCD【答案】AC【分析】由圆柱体积公式计算，注意分类讨论【详解】设该圆柱的底面半径为.若该圆柱的高为2，则，即，该圆柱的体积；若该圆柱的高为4，则，即，该圆柱的体积.故选：AC三、填空题13在复平面内，复数对应点的坐标为，则 .【答案】【分析】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简.【详解】复数对应点的坐标为，.故答案为：14若一组数据，的方差为2，则数据，的方差为 【答案】18【分析】利用方差的性质求解即可.【详解】因为一组数据，的方差为2，所以数据，的方差为，故答案为：18.15在中，点满足:，若，则= .【答案】3【分析】根据条件，利
9、用向量的线性运算得到，再利用平面向量基本定理求出，即可求出结果.【详解】因为，所以，故由平面向量基本定理得到，所以.故答案为：3.四、双空题16已知向量 ，在方向上的投影向量是 【答案】 【分析】根据坐标可直接求出，求出向量的夹角的余弦值，即可求出在方向上的投影向量.【详解】，设向量的夹角为，则在方向上的投影向量是故答案为：；.五、解答题17已知平面向量，满足，(1)求与的夹角；(2)求【答案】(1)(2)12【分析】（1）根据定义法直接求解即可；（2）根据平方关系的转化求解向量的模即可.【详解】（1）设与的夹角为因为，所以，所以，即与的夹角为（2）由题意得，.18如图，在棱长为2的正方体中，
10、为中点，为与的交点.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面；(3)证明：平面.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由棱锥体积公式计算；（2）由线面平行的判定定理证明；（3）由线面垂直的判定定理证明（先计算与都垂直）【详解】（1）在正方体中，平面且则（2）证明：连接，在中，点分别为的中点，所以又平面平面平面；（3）证明：连接，在正方体中，在Rt中，中，又，平面且交于点平面.194月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名经调查统计，分别得到40名男生一周课
11、外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）女生一周自读时间频率分布直方图男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533(1)从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，则男生，女生各抽出多少人?(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数；(3)估计总样本的平均数和方差参考数据和公式;男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中【答案】(1)男生人，女生人(2)，(3)，【分析】（1）首先求出中女生的人数，再利用分层抽样计算规则计算可得；（2）根据平
12、均数公式计算可得；（3）首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.【详解】（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，若从中按比例分配抽取人，则男生有人，女生有人（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；估计女生一周课外阅读时间的平均数.（3）估计总样本的平均数，所以估计总样本的平均数，方差.20如图，在正三棱台中，过棱的截面与棱，分别交于、.(1)记几何体和正三棱台的体积分别为，若，求的长度；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据题意，先由条件证得是三棱台，再结合棱台的体积计算公式即可得到结果；（2）根据题意，延长，交于点，作中点，
13、连接，可得即直线与平面所成的角，再结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）三棱台是正三棱台，平面，平面，平面平面，若,则,几何体是三棱柱，记，此时,不满足题意，舍去；因此，设与交于点,与交于点,则因为,即交于同一点,几何体是三棱台，.（2）如图，延长，交于点，作中点，连接，,平面平面，过作交于，则,平面平面，即直线与平面所成的角，在中，由余弦定理可得，直线与平面所成角的正弦值为.21如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点.(1)求与所成角的余弦值；(2)求点G到平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求得向量的坐标，由求解；（2）求得平面CEF的一个法向量，由求解,【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，所以与所成角的余弦值是；（2），设平面CEF的一个法向量为，则，即，令，则，所以22三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体
