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1、专题4.7 极值点偏移问题【题型目录】题型一对称变换法题型二差值代换法题型三比值代换法题型四对数均值不等式【典型例题】题型一对称变换法例1（2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测）（多选）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（）ABCD例2（2023浙江绍兴统考模拟预测）已知函数，a为实数(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，证明：练习1（2023秋福建福州高二福州三中校考期末）已知函数（）(1)试讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，（），求证：练习2（2023秋广东揭阳高三统考期末）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)当有两个零点时，分
2、别设为，试判断与2的大小关系，并证明.练习3（2023春重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数(1)求函数的单调区间和最大值；(2)设函数有两个零点，证明：练习4（2023全国模拟预测）已知函数(1)求函数的单调区间与极值(2)若，求证：练习5（2023河南校联考模拟预测）已知函数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：题型二差值代换法例3（2023湖北武汉统考模拟预测）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（）求实数a的取值范围；（）求证：例4（2023内蒙古赤峰校考模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若
3、方程有两个实根、，且，证明：.练习6（2022春四川南充高二阆中中学校考阶段练习）已知函数(1)若函数为增函数，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点、求证：练习7（2023全国高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）(1)试讨论函数的零点个数；(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.练习8（2022春全国高二期末）设函数（）(1)当时试讨论函数f(x)的单调性；(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，证明练习9（2022春全国高二期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：.练习10（2023全国高三专题练习）已知函数(1)求证
4、：当时，；(2)当方程有两个不等实数根时，求证：题型三比值代换法例5（2023江西南昌南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，(1)当时，恒成立，求a的取值范围(2)若的两个相异零点为，求证：例6（2023全国模拟预测）已知函数(1)讨论函数的极值点的个数；(2)若函数恰有三个极值点、，且，求的最大值练习11（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：；(3)设函数的两个零点、，求证：.练习12（2022秋福建宁德高三校考期中）已知函数(1)讨论的零点个数(2)若有两个不同的零点，证明：练习13（2023全国高三专题练习）已知函数，（e为自然对数
5、的底数）(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；(2)若，方程有两个根，（），求证：练习14（2023新疆校联考二模）已知函数，其中为自然对数的底数(1)若有两个极值点，求的取值范围；(2)记有两个极值点为、，试证明：练习15（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.题型四对数均值不等式例7（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：与互为相反数；(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.参考数据：，例8（2022春四川南充高二统考期末）设函数(1)当时，讨论函数的单调性；(2
6、)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：练习16（2022秋辽宁高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，(1)求函数的单调区间和极值；(2)若存在，且当时，证明：练习17（2023全国高三专题练习）设函数为的导函数.(1)求的单调区间；(2)讨论零点的个数；(3)若有两个极值点且，证明：.练习18（2023全国高三专题练习）已知函数，.(1)求证：，；(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.练习19（2023四川绵阳校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.练习20（2023全国高三专题练习）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范
7、围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.参考答案与试题解析专题4.7 极值点偏移问题【题型目录】题型一对称变换法题型二差值代换法题型三比值代换法题型四对数均值不等式【典型例题】题型一对称变换法例1（2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测）（多选）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（）ABCD【答案】ABD【分析】由已知与有两个不同的交点，利用导数研究函数性质，结合图象确定的范围，判断A，要证明只需证明，结合函数单调性只需证明，故构建函数，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较，判断C，利用的范围，结合指数函数性质证明，判断D.【详解】方程，可化为，
8、因为方程有两个不等的实根，所以与有两个不同的交点，令，则，令，可得，当时，函数在单调递减，当时，函数在单调递增，当时，且，当时，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故，当时，根据以上信息，可得函数的大致图象如下：，且，故A正确因为，构造，在上单调递增，即，由在单调递增所以，故B正确对于C，由，所以，又，所以，则，所以，故C错误对于D，由，可得，所以，D正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理例2（202
9、3浙江绍兴统考模拟预测）已知函数，a为实数(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，证明：【答案】(1)递减区间为，递增区间为.(2)证明见解析【分析】（1）求导，由导函数的正负即可确定的单调区间，（2）构造函数，求导得的单调性，即可证明，构造函数求导，利用单调性即可求证.【详解】（1）函数的定义域为，令，所以，得， 当，当，故函数递减区间为，递增区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，得，所以，得，令，因为，当时，所以函数在单调递减，在单调递增，且当时,当时,故.先证，需证.因为，下面证明.设,则,故在上为增函数,故,所以,则,所以,即得，下面证明：令，当时，所
10、以成立,所以，所以.当时，记,所以时，所以为减函数得,所以,即得.所以得证，综上，.【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.练习1（2023秋福建福州高二福州三中校考期末）已知函数（）(1)试讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，（），求证：【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.(
11、2)证明见解析【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可；（2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出.【详解】（1）由已知，的定义域为，当时，恒成立，此时在区间上单调递增；当时，令，解得，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）若函数有两个零点，（），则由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，当时，当时，（*），又，只需证明，即有.下面证明，设，设，则，令，解得，当时，在区间单调递减，当时，在区间单调递增，在区间上单调递增，又，即，
12、由（*）知，即.又，原命题得证.【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到.练习2（2023秋广东揭阳高三统考期末）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)当有两个零点时，分别设为，试判断与2的大小关系，并证明.【答案】(1)答案见解析；(2)，证明见解析.【分析】（1）利用导数可求出的最小值为，后讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可解决问题；（2）由（1）可得，在区间上单调递增，则与2的大小关系，等价于与的大小关系，即与的大小关系，又注意到，故利用导数研究函数的
13、单调性即可.【详解】（1），因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以.所以当，即时，的零点个数为0；当，即时，的零点个数为1；当，即时，注意到，因，则，令，则.令，则，因，得，即在上单调递增.则，则.故，使得，得时，的零点个数为2.综上：时，的零点个数为0；时，的零点个数为1；得时，的零点个数为2.（2）.证明如下：由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.令，则，当时，所以在区间上单调递增，所以，所以.因为，所以.又由（1）知在区间上单调递增，则，故.【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点；（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.练习3（2023春重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数(1)求函数的单调区间和最大值；(2)设函数有两个零点，证明：【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值；（2）利用极值点偏移直接求解.【详解】（1）函数的定义域是.当时，恒成立，故在上单调递增
