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1、第二章第二章 几何造型几何造型2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.3 2.3 特征造型特征造型2.4 2.4 参数化造型参数化造型第一节第一节 引言引言 几何模型的作用：几何模型的作用：（1 1）为图形的显示和输出提供信息；）为图形的显示和输出提供信息；（2 2）作为设计和制造的基础，为分析应用程序提供信息。）作为设计和制造的基础，为分析应用程序提供信息。几何造型：利用计算机系统描述零件几何形状及其相几何造型：利用计算机系统描述零件几何形状及其相关信息，建立零件计算机模型的技术称为几何造型。关信息，建立零件计算机模型的技术称为几何造型。造型理论和方法
2、的发展过程造型理论和方法的发展过程第二节第二节 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.2.1 2.2.1 几何造型中常用的几何造型中常用的一些概念一些概念 形体的信息结构：形体的信息结构：通常采用通常采用五层五层信息结构。信息结构。布尔运算：是一种正则布尔运算：是一种正则化的几何运算，它保证化的几何运算，它保证两个基本元素经过运算两个基本元素经过运算后所得结果是有意义的，后所得结果是有意义的，并可进一步参与布尔运并可进一步参与布尔运算。算。第二节第二节 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.2.2 2.2.2 几何造型方法几何造型方法一、线框造型：就是利用零件形体的棱边和顶点表示零件一、线
3、框造型：就是利用零件形体的棱边和顶点表示零件几何形状的一种造型方法。几何形状的一种造型方法。线框造型线框造型线框造型线框造型优点优点：线框造型的方法及其模型都较线框造型的方法及其模型都较简单，便于处理，具有图形显简单，便于处理，具有图形显示速度快，容易修改优点。示速度快，容易修改优点。缺点缺点：（1 1）图形的二义性（不能唯）图形的二义性（不能唯一表示一个图形）；一表示一个图形）；（2 2）难以进行形体表面交线）难以进行形体表面交线计算和物性计算，不便于消除计算和物性计算，不便于消除隐藏线，不能满足表面特性组隐藏线，不能满足表面特性组合和存储及多坐标数控加工刀合和存储及多坐标数控加工刀具轨迹的
4、生成等。具轨迹的生成等。图形的二义性图形的二义性第二节第二节 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.2.2 2.2.2 几何造型方法几何造型方法二、表面造型：是在线框模型基础上发展起来的，利用形二、表面造型：是在线框模型基础上发展起来的，利用形体表面描述物体形状的造型方法。体表面描述物体形状的造型方法。表面造型表面造型表面造型表面造型优点优点：（1 1）可以识别和显示复杂的曲面；）可以识别和显示复杂的曲面；（2 2）可以识别表面特征；）可以识别表面特征；（3 3）可以进行高级刀具轨迹的仿真。）可以进行高级刀具轨迹的仿真。缺点缺点：（1 1）不能完整全面地表达物体形状；）不能完整全面地表达物体
5、形状；（2 2）难以直接用于物性计算，内部结构不易显示。）难以直接用于物性计算，内部结构不易显示。第二节第二节 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.2.2 2.2.2 几何造型方法几何造型方法三、实体造型：不仅描述形体的几何信息，而且还描述三、实体造型：不仅描述形体的几何信息，而且还描述其各部分之间的联系信息以及表面的哪一侧存在实体等其各部分之间的联系信息以及表面的哪一侧存在实体等信息。信息。实体造型实体造型优点：优点：（1 1）全面完整地定）全面完整地定义立体图形；义立体图形；（2 2）可以自动计算）可以自动计算物性、检测干涉、物性、检测干涉、消隐和剖切形体。消隐和剖切形体。第二节第二节
6、 几何造型理论和方法几何造型理论和方法2.2.3 2.2.3 自由曲线、自由曲面造型自由曲线、自由曲面造型曲线的分类曲线的分类规则曲线规则曲线自由曲线自由曲线随机曲线随机曲线自由曲线：通常指不能直线、圆弧和二次曲线自由曲线：通常指不能直线、圆弧和二次曲线描述的任意形状的曲线。描述的任意形状的曲线。自由曲线生成方法：自由曲线生成方法：拟合、逼近和插值拟合、逼近和插值 如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢
7、量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。自由曲线曲面的发展过程自由曲线曲面的发展过程1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorde
8、n）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线曲面。1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。参数曲线基础（参数曲线基础（1/6）曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示参数曲线基础（参数曲线基础（2/6）参数表示参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间0，1参数曲线基础（参数曲线基础（3/6）参数矢量表示形式参数矢量表示形式例子：直线段的参数表示
9、参数曲线基础（参数曲线基础（4/6）参数连续性参数连续性传统的、严格的连续性传统的、严格的连续性称曲线称曲线P=P(t)在在处处n阶参数连续，如果阶参数连续，如果它在它在处处n阶左右导数存在，并且满足阶左右导数存在，并且满足记号记号参数曲线基础（参数曲线基础（5/6）几何连续性几何连续性直观的、易于交互控制的连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在处处0阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在处位置连续，即处位置连续，即记为记为1阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在处处1阶几何连续，如果它在该阶几何连续，如果它在该处处,并且切矢量方向连续
10、并且切矢量方向连续记为记为参数曲线基础（参数曲线基础（6/6）2阶几何连续阶几何连续称曲线称曲线P=P(t)在在处处2阶几何连续，如果它在阶几何连续，如果它在处处（1）（2）副法矢量方向连续）副法矢量方向连续（3）曲率连续）曲率连续参数表示的好处参数表示的好处有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算设设计计或或表表示示形形状状更更直直观观，许许多多参参数数表表示示的的基基函函数数如如Bernstein基和基和B样条函数，有明显的几何意义样条函数，有明显的几何意义曲线曲面拟合方法曲线曲
11、面拟合方法已知条件的表示方法已知条件的表示方法一系列有序的离散数据点一系列有序的离散数据点型值点型值点控制点控制点边界条件边界条件连续性要求连续性要求曲线曲面拟合方法曲线曲面拟合方法生成方法生成方法插值插值点点通过型值点点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插插值值逼近逼近提供的是存在误差的实验数据提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、曲线、B样条曲线等样条曲线等拟合拟合参数多项式曲线（参数多项式曲线（1/4）为什么采用参数
12、多项式曲线为什么采用参数多项式曲线表示最简单表示最简单理论和应用最成熟理论和应用最成熟定义定义-n次多项式曲线次多项式曲线参数多项式曲线（参数多项式曲线（2/4）矢量表示形式矢量表示形式加权和形式加权和形式缺点缺点没有明显的几何意义没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难参数多项式曲线（参数多项式曲线（3/4）矩阵表示矩阵表示矩阵分解矩阵分解几何矩阵几何矩阵控制顶点控制顶点基矩阵基矩阵M 确定了一组基函数确定了一组基函数参数多项式曲线（参数多项式曲线（4/4）例子例子直线段的矩阵表示直线段的矩阵表示P0P1P0+P1几何矩阵G基矩阵
13、MT三次三次Hermite曲线曲线(1/7)定义定义给定给定2个矢量个矢量，称满足条件的三，称满足条件的三次多项式曲线次多项式曲线P(t)为为Hermite曲线插值样条曲线插值样条P0P1R0R1三次三次Hermite曲线曲线(2/7)矩阵表示矩阵表示条件条件三次三次Hermite曲线曲线(3/7)合并合并解解三次三次Hermite曲线曲线(4/7)基矩阵与基函数（调和函数）基矩阵与基函数（调和函数）三次三次Hermite曲线曲线(5/7)形状控制形状控制改变端点位置矢量调节切矢量 的方向调节切矢量 的长度三次三次Hermite曲线曲线(6/7)三次参数样条曲线三次参数样条曲线样条?曲线的定义
14、给定参数节点，型值点，求一条的分段三次参数曲线，使。P(t)称为三次参数样条曲线三次三次Hermite曲线曲线(7/7)优点：优点：简单，易于理解简单，易于理解缺点：缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便不方便所有参数插值曲线的缺点：所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计不适合于外形设计自由曲线自由曲线空间参数曲线可以看作是一个动空间参数曲线可以看作是一个动点在空间的轨迹，它可以用位置点在空间的轨迹，
15、它可以用位置矢量连续不断的描述各瞬间位置。矢量连续不断的描述各瞬间位置。如图所示，曲线的参数方程一般如图所示，曲线的参数方程一般可以写为：可以写为：工程中常见的直线、圆弧、螺旋工程中常见的直线、圆弧、螺旋线等规则曲线也可以用上述参数线等规则曲线也可以用上述参数方程表达。方程表达。FergusonFerguson曲线曲线FergusonFerguson曲线曲线FergusonFerguson曲线曲线 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一
16、种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。BezierBezier曲线曲线Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单得多。如图3.1.10所示，设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。图3.1.10 抛物线三切线定理 当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier
