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1、第二节第二节 有限元法及其发展有限元法及其发展引引 言言实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。因为连续体上任一点上未知量的值。因为点是无限多点是无限多的，存在无限自由度的问题，的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。用近似方法来处理。引引
2、 言言u其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。度。在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形状、程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形状、材料特性和外部载荷的不规则性，求得解析解却是很材料特性和外部载荷的不规则性，求得解析解却是很困难的。困难的。u因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探因此，寻求近似解法就成了必由之路。经过多年的探索，近似算法有许多
3、种，但常用的数值分析方法就是索，近似算法有许多种，但常用的数值分析方法就是差分法和有限元法。差分法和有限元法。差差分分法法：它它把把微微分分dx，dy，dz变变成成差差分分x，yy，z，把把微微分分方方程程变变成成代代数数方方程程组组。如如果果是是一一般般规规则则的的曲曲面面，对对方方程程和和边边界界条条件件的的表表达达都都要要增增加加很很多多困困难难，差差分分法法计计算算模模型型可可给给出出其其基基本本方方程程的的逐逐点点近近似似值值（差差分分网网格格上上的的点点）。但但是是对对于于不不规规则则的的几几何何形形状状和和不不规规则则的的特特殊殊边边界界条条件件差差分分法法就就难难于于应应用用了
4、了。因因此此这这种种方方法法的的适适用用性性有有限限制制，特特别别对对有有不不同同构构件件组组合合成成的的结结构构，很很难难使使用用差差分分方方法。法。差分法差分法2.1有限元法的有限元法的基本概念基本概念有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。单元来描述。u2.1.12.1.1有限元法：有限元法：把求解区域划分成由许多小的在节点把求解区域划分成由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解的一种数值计算方法。由于单程的分片（子域）近似解的一种数值
5、计算方法。由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。和复杂的边界条件。2.1.2 2.1.2 自由度（自由度（DOFsDOFs）自由度自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 对象对象 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ节点节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和空间
6、中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。存在相互物理作用。单元单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。面或实体以及二维或三维的单元等种类。载荷载荷载荷载荷2.1.3 节点和单元节点和单元有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，组成，单元之间通过单元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载载荷荷。2.1.3 2.1.3 节点和单元节点和单元(续续)u每个单元的特性是通过一些线性方程式来每个单元的特性是通
7、过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。构的数学模型。F尽管梯子的有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），然而在今天一个小的），然而在今天一个小的 ANSYS ANSYS分析就可能有分析就可能有50005000个未知量，矩阵可能有个未知量，矩阵可能有2525，000000，000000个刚度系数。个刚度系数。信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理
8、）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递.AB.AB.1 node2 nodes2.1.3 节点和单元(续).节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL一维杆单元一维杆单元(铰接铰接)UX,UY,UZ一维梁单元一维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ
9、2.1.3 2.1.3 节点和单元节点和单元(续续)2.1.4 单元形函数单元形函数单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了从节点DOFDOF值到值到单元内所有点处单元内所有点处DOFDOF值的计算方法值的计算方法,因此，单元形函数因此，单元形函数提供一种描述单元内部结果的提供一种描述单元内部结果的“形状形状”，是给定单元，是给定单元的一种的一种假定假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。好坏程度直接影响求解精度。2.1.4单元形函数（续）u遵循原则:当选择了某种单元类型时，即确定地当选择了某种单元类型
10、时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。同时，在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。来精确描述所要求解的问题。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).22.1.4单元形函数(续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线.3节点节点单元单元二次近似二次近似(接近于真实的二次近
11、似拟合接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果最理想结果).4u有限元模型：有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。实际系统实际系统有限元模型有限元模型2.1.5 有限元模型有限元模型u有限元分析：是有限元分析：是利用数学近似的方法利用数学近似的方法对真实物理系统（几何对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟和载荷工况）进行模拟,并利用简单而又相互作用的元素即单并利用简单而又相互作用的元素即单元，就可以用元，就可以用有限数量的未知量去逼近有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系无限未知量的真实系统统,是一种模是一种模拟设计载拟设计
12、载荷条件，并且确定在荷条件，并且确定在载载荷条件下的荷条件下的设计设计响响应应的方法。的方法。u它是用被称之为它是用被称之为“单元单元”的离散的块体来模拟设计。的离散的块体来模拟设计。1 1）每一）每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；2 2）模型）模型中所有单元响应的中所有单元响应的“和和”给出了设计的总体响应；给出了设计的总体响应；3 3）单元中）单元中未知量的个数是有限的，因此称为未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元有限单元”。2.1.6 有限元分析有限元分析2.22.2有限单元法的特点有限单元法的特点 把把连连续续体体划划分
13、分成成有有限限个个单单元元，把把单单元元的的交交界界结结点点（节点）作为离散点；（节点）作为离散点；不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。理理论论基基础础简简明明，物物理理概概念念清清晰晰，且且可可在在不不同同的的水水平平上建立起对该法的理解。上建立起对该法的理解。具有灵活性和适用性，适应性强。具有灵活性和适用性，适应性强。在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。2.32.3有限元法的发展概况有限元法的发展概况 2.3.12.3.1有限元法的由来有限元法的由来 1956年年Turner,Clough,Ma
14、rtin和和Topp等人确定单元特性的等人确定单元特性的直接刚度法。直接刚度法。1960年年Clough进一步处理了平面弹性问题之后，由结构力进一步处理了平面弹性问题之后，由结构力学工作者用来解决复杂的强度分析问题的。采用此方法进行学工作者用来解决复杂的强度分析问题的。采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法有限单元法”，简，简称称“有限元法有限元法”。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发
15、展起来。之迅速的发展起来。2.3.2有限元法涉及的内容l有限元法在数学和力学领域所依据的理论；l单元的划分原则；l形状函数的选取及协调性；l有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；l计算机程序设计技术；l向其他各领域的推广。2.4有限元法的应用 有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和
16、动力问题）；（包括静力和动力问题）；可求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁可求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题）；场等的稳态和瞬态问题）；可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。流体、温度相互作用的问题。F当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎是用于所有连续介质和场的问题。手段，它几乎是用于所有连续介质和场的问题。结构分析结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。静力分析u用于静态荷载.u可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.超弹密封超弹密封结构分析（续）模态分析：计算线性结构的自振频率及振形.谱分析 是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作 响应谱).u提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显式动力学分析模块。u用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.u它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法
