《六方差分析法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六方差分析法（223页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、方差分析解决的主要问题是什么？单因素方差分析与双因素方差分析 原理的相同点与不同点？第六章 方差分析法 ANOVAANOVAANOVAANOVA由英国统计学家由英国统计学家R.A.FisherR.A.Fisher首创，为纪首创，为纪念念FisherFisher，以，以F F命名，故命名，故方差分析又称方差分析又称 F F 检验检验 （F F test test）。用于推断）。用于推断多个总体均值多个总体均值有无差异有无差异 方差分析的来源例题例题 某公司计划引进一条生产线，为了选择一条质量优良某公司计划引进一条生产线，为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题，他们对的生产线以减少日后的
2、维修问题，他们对6种型号的种型号的生产线作了初步调查，得到每个型号的生产线上个生产线作了初步调查，得到每个型号的生产线上个月维修的小时数，每种型号调查月维修的小时数，每种型号调查4条，结果列于表条，结果列于表6-1。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异成它们在维修时间方面有显著差异?引言：引言：方差分析的基本概念和原理方差分析的基本概念和原理表表 61 对对6种型号生产线维修时数的调查结果种型号生产线维修时数的调查结果 序号序号型号型号1234A型型9.58.811.47.8B型型4.37.83.26.5C型型6.
3、58.38.68.2D型型6.17.34.24.1E型型10.04.85.49.6F型型9.38.77.210.1研究的指标研究的指标:维修时间记作维修时间记作Y,控制因素是生产线的型号控制因素是生产线的型号,分为分为6个水平即个水平即A,B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,6)。引言：引言：方差分析的基本概念和原理方差分析的基本概念和原理现在的试验就是进行调查现在的试验就是进行调查,每种型号调查每种型号调查4台台,相当于相当于每个总体中抽取一个容量为每个总体中抽取一个容量为4的样本的样本,得到的数据记作得到的数据记作yij(i=1,2,6;j=1,
4、2,3,4),即为下表数据。即为下表数据。计算各样本平均数计算各样本平均数 如下如下:型号型号ABCDEF9.45.57.95.47.58.8表表 6 62 2引言：引言：方差分析的基本概念和原理方差分析的基本概念和原理两个总体平均值比较的检验法两个总体平均值比较的检验法把样本平均数两两组成对把样本平均数两两组成对:与与 ,与与 ,与与 ,与与 ,与与 ,共有共有(15)对。对。引言引言 方差分析的基本概念和原理方差分析的基本概念和原理即使每对都进行了比较即使每对都进行了比较,并并且都以且都以0.950.95的置信度得出的置信度得出每对均值都相等的结论每对均值都相等的结论,但但是由此要得出这是
5、由此要得出这6 6个型号的个型号的维修时间的均值都相等。维修时间的均值都相等。这一结论的置信度仅是这一结论的置信度仅是 上上述述方方法法存存在在的的问问题题工作量大工作量大置信度低置信度低将这将这1515对平均数一一对平均数一一进行比较检验进行比较检验 引言引言 方差分析的基本概念和原理方差分析的基本概念和原理 对对试试验验进进行行多多次次测测量量所所得得到到的的一一组组数数据据x1，x2，xn，由由于于受受到到各各种种因因素素的的影影响响，各各个个测测量量值值通通常常都都是是参参差差不不齐齐的，它们之间的差异称为误差。的，它们之间的差异称为误差。由于试验条件由于试验条件的改变的改变试验误差试
6、验误差 反映了测试结果反映了测试结果的精密度的精密度 随机因素引起随机因素引起 系统误差系统误差 反映测试条件对反映测试条件对测试结果的影响测试结果的影响 方差分析的基本原理方差分析的基本原理：(1)(1)将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成：将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成：(总的偏差平方和总的偏差平方和)=)=(由由因素水平因素水平引起的偏差平方和引起的偏差平方和)+()+(随机误差随机误差平方和平方和)(2)(2)上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差同水平是否使得各型号的平均维修
7、时间产生显著性差异异,为此需要进行适当的统计假设检验为此需要进行适当的统计假设检验.如何从数据中分离出两者的大小？如何从数据中分离出两者的大小？-方差分析方差分析引言：方差分析的基本概念和原理引言：方差分析的基本概念和原理方差分析的几个名词方差分析的几个名词什么是方差？什么是方差？离均差离均差离均差平方和离均差平方和SS方差（方差（2 S2）=均方（均方（MS）标准差：标准差：S自由度：自由度：f关系：关系：MS=SS/f方差分析的含义方差分析的含义 方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。设检验的方法。方差
8、分析也就是对变异的分析。是是对总变异进行分析，看总变异是由哪些部分组对总变异进行分析，看总变异是由哪些部分组成的，以及这些部分间的关系如何。成的，以及这些部分间的关系如何。结合单因素实验介绍方差分析的有关原理。结合单因素实验介绍方差分析的有关原理。在单因素试验中在单因素试验中,为了考察因素为了考察因素A的的k个水平个水平A1,A2,Ak对对Y的影响的影响,设想在固定的条件设想在固定的条件Ai下作试验下作试验.所有可能的试验结果组成一个总体所有可能的试验结果组成一个总体Yi,它是一个随机它是一个随机变量变量.可以把它分解为两部分可以把它分解为两部分 （6-1）i=1，,k，因素的水平数。，因素的
9、水平数。6.1单因素方差分析的数学模型和数据结构单因素方差分析的数学模型和数据结构其中：其中：纯属纯属Ai作用的结果作用的结果,称为在称为在Ai水平条件下水平条件下 Yi 的真值的真值(也也称为在称为在Ai条件下条件下Yi的理论平均的理论平均).是实验误差是实验误差(也称为随机误也称为随机误差差)。（6-2）其中其中,和和 都是未知参数都是未知参数(i=1,2,k).假定在水平假定在水平Ai下重复做下重复做m次试验次试验,得到观测值得到观测值 12jm合计合计平均平均A1Y11Y12Y1jY1mT1A2Y21Y22Y2jY2mT2AiYi1Yi2YijYimTiAkYk1Yk2YkjYkmTk
10、表表 6 63 36.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 表中：表中：(i=1,2,k)(6-3)Yij表表示在示在Ai条件下第条件下第j次试验的结果次试验的结果,用式子表示就是用式子表示就是 (i=1,2,k j=1,2,m)(6-4)注意注意:每次试验结果只能得到每次试验结果只能得到Yij,而而(6-4)式中的式中的 和和 都不都不能直接观测到。能直接观测到。6.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构为了便于比较和分析因素为了便于比较和分析因素A的水平的水平Ai对指标影响对指标影响的大小的大小,通常把通常把 再分解为再分解为 (i=1,2,k)(6-5)其中其中,称为一般平均称为一
11、般平均(Grand Mean),它是比它是比较作用大小的一个基点（较作用大小的一个基点（总体的平均值总体的平均值）；）；6.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 并且称并且称 为第为第i个水平个水平Ai的效的效应应.它表示水平的真值比一般它表示水平的真值比一般中等水平差多少。满足约束条件中等水平差多少。满足约束条件 (6-6)可得可得 i=1,2,k;j=1,2,m6.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构要要解解决决的的问问题题找出参数找出参数和和 的估计量的估计量分析观测值的偏差分析观测值的偏差 检验各水平效应检验各水平效应有无显著差异有无显著差异6.1 数学模型和数据结构数学模型和
12、数据结构用最小二乘法求参数用最小二乘法求参数 的估计量的估计量,然后然后寻求寻求 的无偏估计量的无偏估计量.须使参数须使参数 的估计值能使在水平的估计值能使在水平Ai下求下求得的观测值得的观测值Yij与真值与真值 之间的偏差尽可能小。之间的偏差尽可能小。为满足此要求为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方和原则一般考虑用最小偏差平方和原则,也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小.参数点估计参数点估计由由(6-4)可知可知,上述偏差平方和上述偏差平方和令下列各偏导数为零令下列各偏导数为零(i=1,2,k)(i=1,2,k)参数点估计参数点估计由由 解得解得
13、(6-7)由由 解得解得 (6-8)参数点估计参数点估计并由此得并由此得 的估计量的估计量 至此至此,求得参数求得参数 的估计量的估计量 (6-9)参数点估计参数点估计按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二乘法乘法,称为最小二乘估计量称为最小二乘估计量.我们还可以证明我们还可以证明 分别是参数分别是参数 的无的无偏估计量。偏估计量。将将 和和 分别用它们的估计量代替分别用它们的估计量代替,可以得到试可以得到试验误差验误差 的估计量的估计量 ,(6-10)参数点估计参数点估计 为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,
14、我们我们研究三种偏差研究三种偏差:,和和 .根据前面参数估计的讨论根据前面参数估计的讨论,它们分别表示它们分别表示 ,分解定理（教材中分解定理（教材中“加法定理加法定理”）(6-11)的估计的估计.和和6.2 分解定理分解定理 自由度自由度证明：证明：6.2 分解定理分解定理 自由度自由度组间变差组间变差组内变差组内变差总偏差总偏差误差公理误差公理令令则分解定理则分解定理(6-11)可写成可写成 (6-12)6.2 分解定理分解定理 自由度自由度总差平方和总差平方和变差平方和变差平方和残差平方和残差平方和 上式中上式中,称为总偏差平方和称为总偏差平方和.称为误差平方和称为误差平方和(或组内或组
15、内平方和平方和);称为因素称为因素A的效应平方和的效应平方和(或组间平方和或组间平方和),ST的自由度的自由度fT=km-1 SA的自由度的自由度fA=k-1 SE的自由度的自由度fE=k(m-1)容易看出，自由度之间也有类似于分解定理（容易看出，自由度之间也有类似于分解定理（加法加法定理定理）的关系）的关系 (6-13)6.2 分解定理分解定理 自由度自由度参数参数假设假设检验检验的假的假设条设条件件 观测值观测值(i i=1,2,.,=1,2,.,k k;j j=1,2,.,=1,2,.,m m)相互独立相互独立在水平在水平A Ai i条件下条件下,Y Yijij(j j=1,2,.,=1
16、,2,.,m m)服从正态分布服从正态分布N N 6.3 显著性检验显著性检验要判断在因素要判断在因素A A的的k k个水平条件下真值之间是否个水平条件下真值之间是否有显著性差异有显著性差异,即检验假设即检验假设 H H0 0:,:,H H1 1:不全相等不全相等 相当于检验假设相当于检验假设 H H0 0:(i=1,2,k),:(i=1,2,k),H H1 1:i i不全为零不全为零 可以证明当可以证明当H0为真时为真时,(6-16)并且并且 与与 相互独立相互独立.得得 (6-17)其中其中 和和 称为均方称为均方(Mean Square).6.3 显著性检验显著性检验变差平方和变差平方和/变差自由度变差自由度残差平方和残差平方和/残差自由度残差自由度利用利用(6-17)式来检验原假设式来检验原假设H0是否成立是否成立.对于给定的显著水平对于给定的显著水平 ,可以从可以从F分布表查出临界值分布表查出临界值 再根据样本观测值算出再根据样本观测值算出FA的值的值.当当 时时,拒绝拒绝H0,当当 时时,接受接受H0。即：如果即：如果H0成立，成立，F应等于应等于1；相反应大于；相反应大于
