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1、第第5 5章章 二阶动态二阶动态电路分析电路分析5-1 5-1 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应5-2 5-2 RLCRLC串联电路的全响应串联电路的全响应5-3 5-3 GCLGCL并联电路的分析并联电路的分析5-4 5-4 一般二阶电路分析一般二阶电路分析5-15-1 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应RuRuCCuLL (t=0)iK 电电路路如如图图所所示示，设设u uC C(0(0)=)=U U0 0，i iL L(0(0)=0)=0。t t=0=0时时，开开关关K K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL
2、KVL，可得：可得：由元件伏安关系得：由元件伏安关系得：或或特征方程为特征方程为特征根为特征根为 特征根特征根S S1 1、S S2 2由电路本身的参数由电路本身的参数R R、L L、C C的数值确定，根的数值确定，根据据R R、L L、C C数值不同，特征根可能出现以下三种情况：数值不同，特征根可能出现以下三种情况：（1 1）当）当R R （即即 ）时，）时，S S1 1、S S2 2为两个不等的为两个不等的 负实根；负实根；（2 2）当）当R R （即即 ）时，）时，S S1 1、S S2 2为一对实部为为一对实部为 负的共轭复根；负的共轭复根；（3 3）当）当R=R=（即即 ）时，）时，
3、S S1 1、S S2 2为一对相等的为一对相等的 负实根；负实根；一、过阻尼情况一、过阻尼情况 此时此时S S1 1、S S2 2为不相等的负实根为不相等的负实根 ，即有，即有对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为 常数常数A A1 1和和A A2 2由初始条件确定由初始条件确定 联立求解，得：联立求解，得：电路中其它响应：电路中其它响应：的波形曲线的波形曲线 由于这种情况下，电路中电阻较大，由于这种情况下，电路中电阻较大，RLCRLC电路无法形电路无法形成振荡，因此称为过阻尼情况成振荡，因此称为过阻尼情况 二、欠阻尼情况二、欠阻尼情况 此时，此时，S S1 1，S S2 2为一对共轭复根
4、，即为一对共轭复根，即 对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为:应用欧拉公式应用欧拉公式 ，上式可表示为，上式可表示为待定常数待定常数K K1 1，K K2 2，或或K K，由初始条件确定。由初始条件确定。电路中其它响应：电路中其它响应：的波形曲线的波形曲线 响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按指数规律指数规律 衰减，衰减，称为衰减系数，称为衰减系数，d d是振荡的角频率。是振荡的角频率。R R=0=0是欠阻尼的特例。此时是欠阻尼的特例。此时 的波形曲线的波形曲线 R R0 0时，时，可见，当电路中可见，当电路中R R0 0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，时，
5、各响应作无阻尼等幅自由振荡，0 0称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就一直持续下来，永不消失。一直持续下来，永不消失。二、临界阻尼情况二、临界阻尼情况 此时此时S S1 1、S S2 2为相等的负实根为相等的负实根 ，即有，即有对应的齐次方程的解为对应的齐次方程的解为 待定常数待定常数A A1 1，A A22由初始条件确定。由初始条件确定。电路中其它响应：电路中其它响应：的波形曲线的波形曲线 其能量转换过程与过阻尼情况相
6、同，电路响应呈振荡状其能量转换过程与过阻尼情况相同，电路响应呈振荡状态与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，态与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，R R称为称为临界电阻。临界电阻。综上所述，综上所述，RLCRLC串联零输入电路中，随着电阻串联零输入电路中，随着电阻R R从大到小变从大到小变化化，电路工作状态从，电路工作状态从过阻尼过阻尼，临界阻尼临界阻尼到到欠阻尼欠阻尼变化，直至变化，直至R R=0=0为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率S S1 1、S S2 2，而与初始条件无关。而与初始条件无关。过阻尼的响应公式：过阻尼
7、的响应公式：临界阻尼的响应公式：临界阻尼的响应公式：欠阻尼的响应公式：欠阻尼的响应公式：例例5-15-1 电路如图所示。电路如图所示。R=1R=1，L=1HL=1H，C=1FC=1F。换路前，电换路前，电路处于稳态。路处于稳态。求零输入响应。求零输入响应 。RuRuCCuLL (t=0)iK解：解：首先求电路的固有频率首先求电路的固有频率 表明换路后电路处于欠阻尼状表明换路后电路处于欠阻尼状态。其对应的响应为：态。其对应的响应为：）由初始条件：由初始条件：5-25-2 RLCRLC串联电路全响应串联电路全响应RuRuCCuLLUS 电路如图电路如图 ，分析过程如前，分析过程如前，可得电路微分方
8、程为可得电路微分方程为 上上式式是是二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程。它它的的完完全全解解由对应齐次方程的通解和非齐次方程特解组成。即由对应齐次方程的通解和非齐次方程特解组成。即 通解通解 称为固有响应分量，其模式由电路固有频率称为固有响应分量，其模式由电路固有频率S S1 1、S S2 2决定，即由决定，即由R R、L L、C C的大小决定。的大小决定。特解特解 为强制响应分量为强制响应分量,是与激励具有相同模式的是与激励具有相同模式的常量常量 可求得特解为：可求得特解为：将特解代入微分方程中将特解代入微分方程中根据特解和通解可得二阶根据特解和通解可得二阶RLCRLC
9、串联电路全响应的一般形式串联电路全响应的一般形式 过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼 例例5-25-2 电路如图所示。已知电路如图所示。已知 求零状态响应求零状态响应u uC C(t)(t)和和i i(t)(t)。解：解：电路对应的齐次方程的根为电路对应的齐次方程的根为 S S1 1、S S2 2为为不不相相等等的的实实根根，故故此此电电路路属属于于过过阻阻尼尼响响应应，对应的完全解为对应的完全解为RuRuCCuLLUS利用初始条件，求待定常数利用初始条件，求待定常数 联立求得：联立求得：例例5-35-3电路如图所示，已知电路如图所示，已知L=1HL=1H，C=1/5FC=1/5F，R=
10、2R=2，U US1S1=4V=4V U US2S2=6V=6V，t0t0时，电路处于稳态。时，电路处于稳态。时刻，时刻，K K1 1打开，打开，K K2 2闭合。闭合。求求 时，电路的全响应时，电路的全响应 。US2RuC(t)CLi(t)K2t=0t=0K1US1解：解：t t000时，时，K K1 1打开，打开，K K2 2闭合。此时电路为闭合。此时电路为RLCRLC串联电路串联电路,对对应齐次方程的根为应齐次方程的根为 对应完全解为：对应完全解为：利用初始条件，确定待定系数利用初始条件，确定待定系数5-35-3 GLCGLC并联电路全响应并联电路全响应 以以i iL L为求解变量，代入
11、元件伏为求解变量，代入元件伏安关系并整理得：安关系并整理得：KISu(t)GCLiG(t)iC(t)iL(t)t=0电路如图所示，根据电路如图所示，根据KCLKCL有有并联电路并联电路串联电路串联电路 GLC GLC并联电路与并联电路与RLCRLC串联电路互为对偶电路。其求解方法串联电路互为对偶电路。其求解方法与与RLCRLC串联电路的求解方法完全相同。串联电路的求解方法完全相同。特征方程为特征方程为特征根为特征根为一、过阻尼情况一、过阻尼情况 三、临界阻尼情况三、临界阻尼情况 二、欠阻尼情况二、欠阻尼情况 5-45-4 一般二阶电路分析一般二阶电路分析 前面讨论的前面讨论的RLCRLC串联或
12、串联或GLCGLC并联电路，是结构形式最简单的并联电路，是结构形式最简单的二阶电路。对于任意结构形式的一般二阶电路，其电路激励二阶电路。对于任意结构形式的一般二阶电路，其电路激励响应关系仍满足二阶微分方程。其分析方法并无区别，响应关系仍满足二阶微分方程。其分析方法并无区别，基本步骤仍为：基本步骤仍为：（1 1）以）以 或或 为变量，列写二阶微分方程。为变量，列写二阶微分方程。（2 2）根据微分方程列写特征方程并求特征根）根据微分方程列写特征方程并求特征根（3 3）根据特征根列写方程的通解）根据特征根列写方程的通解（4 4）根据初始值，确定通解中的待定系数）根据初始值，确定通解中的待定系数 例例
13、5-5 5-5 电路如图所示，试求电路如图所示，试求u u2 2满足的微分方程。满足的微分方程。USu1C1i1R1iC2R2i2u2解：由元件伏安关系和解：由元件伏安关系和KVLKVL有：有：由由KCLKCL有：有：化简整理得：化简整理得：USu1C1i1R1iC2R2i2u2uLiCi10AuC0.2F2i42H 例例5-65-6 时，电路如图所示。时，电路如图所示。求求 时的时的 。解解：（1 1）选选i i为为求求解解变变量量，列列写写微分方程微分方程由电感伏安关系有：由电感伏安关系有：由由KVLKVL有：有：（1）代入（代入（1）式得：）式得：（2）对（对（2 2）式微分得：）式微分
14、得：（3）由电容伏安关系，有由电容伏安关系，有 又由又由KVLKVL，有有（4）uLiCi10AuC0.2F2i42H将（将（4 4）式代入（）式代入（3 3）式，整理得：）式，整理得：（5）对应齐次方程特征根为：对应齐次方程特征根为：假定特解假定特解 ，代入（，代入（5 5）式，则）式，则 ，得，得 （5 5）式对应完全解为：）式对应完全解为：（6）利用初始条件求待定常数利用初始条件求待定常数 代入式（代入式（6 6）式得）式得安全阀基本知识安全阀基本知识如果压力容器(设备/管线等)压力超过设计压力1.尽可能避免超压现象堵塞(BLOCKED)火灾(FIRE)热泄放(THERMAL RELIE
15、F)如何避免事故的发生?2.使用安全泄压设施爆破片安全阀如何避免事故的发生?01安全阀的作用就是过压保护安全阀的作用就是过压保护!一切有过压可能的设施都需要安全阀一切有过压可能的设施都需要安全阀的保护的保护!这里的压力可以在200KG以上,也可以在1KG以下!设定压力(set pressure)安全阀起跳压力背压(back pressure)安全阀出口压力超压(overpressure)表示安全阀开启后至全开期间入口积聚的压力.几个压力概念弹簧式先导式先导式重力板式先导+重力板典型应用电站锅炉典型应用长输管线典型应用罐区安全阀的主要类型02不同类型安全阀的优缺点不同类型安全阀的优缺点结构简单,
16、可靠性高适用范围广价格经济对介质不过分挑剔弹簧式安全阀的优点预漏-由于阀座密封力随介质压力的升高而降低,所以会有预漏现象-在未达到安全阀设定点前,就有少量介质泄出.100%SEATING FORCE7550252505075100%SET PRESSURE弹簧式安全阀的缺点过大的入口压力降会造成阀门的频跳,缩短阀门使用寿命.ChatterChatterChatterChatterDisc Disc Disc Disc Guide Guide Guide Guide Disc HolderDisc HolderDisc HolderDisc HolderNozzleNozzleNozzleNozzle弹簧式安全阀的缺点弹簧式安全阀的缺点弹簧式安全阀的缺点=10010010010090909090808080807070707060606060505050500 0 0 0101010102020202030303030404040405050505010%10%10%10%OVERPRESSUREOVERPRESSUREOVERPRESSUREOVERPRESSURE%BUILT-UP
