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1、9.4 9.4 乘法公式乘法公式第第9 9章章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u完全平方公式完全平方公式u平方差公式平方差公式知知识点点完全平方公式完全平方公式知知1 1讲讲11.完全平方公式完全平方公式用字母表示用字母表示为为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.文字描述：两个数的和文字描述：两个数的和(或差或差)的平方，等于的平方，等于这这两个数的平两个数的平方和与它方和与它们积们积的的2 倍的和倍的和(或差或差).这这两个公式即两个公式即为为(乘法的乘法的)完全平方公式完全平方公式
2、.知知1 1讲讲特别解读：特别解读：1.弄弄清清公公式式的的特特征征：公公式式的的左左边边是是一一个个二二项项式式的的完完全全平平方方，公公式式的的右右边边是是一一个个三三项项式式，包包括括左左边边二二项项式式的的各各项项的的平平方和，方和，另一项是这两项的乘积的另一项是这两项的乘积的2 倍倍.2.理理解解字字母母a、b 的的意意义义：公公式式中中的的字字母母a、b 可可以以表表示示具具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.3.口口诀诀记记忆忆：首首平平方方，尾尾平平方方，积积的的2倍倍在在中中央央，和和是是加加来差是减，完全平方要记全来差是减，完全
3、平方要记全.知知1 1讲讲2.推推导导方法方法(1)多多项项式乘法法式乘法法则则解解释释(a+b)2(a+b)(a+b)a2+ab+ab+b2 a2+2ab+b2，(a-b)2(a-b)(a-b)a2-ab-ab+b2 a2-2ab+b2.知知1 1讲讲(2)几何解几何解释释如果把如果把图图9.4-1 看成一个大正方形，那么它的面看成一个大正方形，那么它的面积为积为(a+b)2.如果把如果把图图9.4-1 看成是由看成是由2 个小个小长长方形和方形和2 个小正方形个小正方形组组成成的，那么它的面的，那么它的面积为积为a2+2ab+b2.知知1 1讲讲3.拓展拓展完全平方公式的几种常完全平方公式
4、的几种常见变见变形公式形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab；(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；知知1 1讲讲知知1 1讲讲例1计计算：算：(1)(x+7y)2；解：解：(x+7y)2=x2+2x7y+(7y)2=x2+14xy+49y2；知知1 1讲讲(2)(-4a+5b)2；解：解：(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-25b4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2；加法交换律加法交换律知知1 1讲讲(3)(-2m-n)2；解：解：(-2m-n
5、)2=(2m+n)2=(2m)2+22mn+n2=4m2+4mn+n2；逆用去括号法则逆用去括号法则知知1 1讲讲(4)(2x+3y)(-2x-3y).解：解：(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-(2x)2+22x3y+(3y)2=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.详解：详解：(2x+3y)(-2x-3y)=(2x+3y)-(2x+3y)=-(2x+3y)2知知1 1讲讲解题秘方：解题秘方：确定公式中的确定公式中的“a”和和“b”，利用完全平，利用完全平方公式方公式进进行行计计算算.知知1 1讲讲方法点拨：方法点拨：1.利用完全平方公式进行整式运算的
6、基本步骤：利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：(1)确定公式中的确定公式中的a、b；(2)确定和差关系；确定和差关系；(3)选择公式；选择公式；(4)计算结果计算结果.2.两个易错点：两个易错点：(1)套用公式时千万不能漏掉套用公式时千万不能漏掉“2ab”项；项；(2)两个平方项的底数要带上括号两个平方项的底数要带上括号.知知1 1讲讲例2计算：计算：(1)9992；解：解：9992=(1 000-1)2=1 0002-21 0001+12=1 000 000-2 000+1=998 001；知知1 1讲讲知知1 1讲讲解题秘方：解题秘方：将原数将原数转转化成符合完全平方公式的形式，化成符
7、合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开再利用完全平方公式展开计计算即可算即可.知知1 1讲讲方法点拨：方法点拨：利利用用完完全全平平方方公公式式进进行行数数值值运运算算时时，主主要要是是将将底底数数拆拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况：成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况：一一是是接接近近整整十十、整整百百或或整整千千的的数数.将将与与整整十十、整整百百或或整整千千接接近近的的数数拆拆分分成成整整十十、整整百百或或整整千千的的数数与与相相差差的的数数的的和或差；和或差；二二是是带带分分数数.将将带带分分数数拆拆分分成成整整数数部部分分与与真真分分数数的的和和或差或差.
8、知知2 2讲讲知知识点点平方差公式平方差公式21.平方差公式平方差公式用字母表示为用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差数的平方差.这个公式即为这个公式即为(乘法的乘法的)平方差公式平方差公式.知知2 2讲讲2.推导方法推导方法(1)多项式乘法法则解释多项式乘法法则解释(a+b)(a-b)a2-ab+ab-b2 a2-b2.(2)几何解释几何解释图图阴影部分的面积是阴影部分的面积是a2-b2.图图这个长方形的长是这个长方形的长是a+b、宽是宽是a-b，面积为，面积为(a+b)(
9、a-b).知知2 2讲讲特别解读：特别解读：公式的特征：公式的特征：1.等等号号左左边边是是两两个个二二项项式式相相乘乘，这这两两个个二二项项式式中中有有一一项项完完全相同，另一项互为相反数全相同，另一项互为相反数.2.等等号号右右边边是是乘乘式式中中两两项项的的平平方方差差，即即相相同同项项的的平平方方减减去去相反项的平方相反项的平方.理理解解字字母母a、b 的的意意义义：平平方方差差公公式式中中的的a、b既既可可代代表表一个单项式，也可代表一个多项式一个单项式，也可代表一个多项式.知知2 2讲讲3.平方差公式的几种常见变化及应用平方差公式的几种常见变化及应用变化形式变化形式应用举例应用举例
10、位置变化位置变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2符号变化符号变化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2系数变化系数变化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2指数变化指数变化(a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4增项变化增项变化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2连用公式连用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4知知2 2讲讲例3计计算：算：(1)(5m-3n)(5m+3n)；解：解：(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2
11、-(3n)2=25m2-9n2；(2)(-2a2+5b)(-2a2-5b)；(-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a4-25b2；知知2 2讲讲知知2 2讲讲(4)(-3y-4x)(3y-4x).解：解：(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x-3y)(-4x+3y)=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2.知知2 2讲讲解题秘方：解题秘方：先确定公式中的先确定公式中的“a”和和“b”，然后根据平然后根据平方差公式方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 进进行行计计算算.知知2 2讲讲解法提醒：解法提醒：运用平方差公式计算的运用平方差公式计算的3 个关键步骤
12、：个关键步骤：第第1步步：利利用用加加法法的的交交换换律律调调整整两两个个二二项项式式中中项项的的位位置置，使使之之与与公公式式左左边边相相对对应应，已已对对应应的的就就不不需需调调整整，如如(1)(2)不不需需调调整整，(3)(4)就必须调整就必须调整.第第2步：找准公式中的步：找准公式中的a、b 分别代表哪个单项式或多项式分别代表哪个单项式或多项式.第第3步步：套套用用公公式式计计算算，注注意意将将底底数数带带上上括括号号.如如(1)中中(5m)2 不能写成不能写成5m2.知知2 2讲讲例4计算：计算：(1)10.39.7；解：解：10.39.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-
13、0.32=100-0.09=99.91；(2)2 0202 022-2 0212.2 0202 022-2 0212=(2 021-1)(2 021+1)-2 0212=2 0212-1-2 0212=-1.知知2 2讲讲解题秘方：解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式找出平方差公式的模型，利用平方差公式进进行行计计算算.方法点拨：方法点拨：运运用用平平方方差差公公式式计计算算两两数数乘乘积积时时，关关键键是是找找到到这这两两个个数数的的平平均均数数，再再将将原原数数与与这这个个平平均均数数进进行行比比较较，变变成成两两数数的和与差的积的形式的和与差的积的形式.乘法公式乘法公式乘乘法法公公式式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2综合综合运用运用
