4.3 4.3 实数实数第第4 4章章 实数实数逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u无理数无理数u实数实数u实数与数轴实数与数轴u实数的性质实数的性质u实数的运算实数的运算u用计算器求算术平方根或立方根用计算器求算术平方根或立方根知知识点点无理数无理数知知1 1讲讲11.定义定义 无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数.判断标准判断标准小数位数无限，小数形式为不循环小数位数无限，小数形式为不循环.知知1 1讲讲知知1 1讲讲3.无理数与有理数的区别无理数与有理数的区别(1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；不循环小数；(2)所有的有理数都可以写成分数的形式所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成整数可以看成分母为分母为1 的分数的分数)，而无理数不能写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.知知1 1讲讲易错提醒易错提醒1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数；无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数；2.带带根根号号的的数数不不一一定定都都是是无无理理数数，不不带带根根号号的的数数也也不不一一定就是有理数定就是有理数.知知1 1练练例1知知1 1练练解题秘方：解题秘方：根据无理数的三种常见形式去辨析根据无理数的三种常见形式去辨析.答案：答案：B知知1 1练练特别警示特别警示对对有有理理数数和和无无理理数数进进行行区区分分时时，应应先先对对某某些些数数进进行行计计算算或或化化简简，然然后后根根据据最最后后的的结结果果进进行行分分类类，不不能能只只要要看看到到用根号表示的数就认为其是无理数用根号表示的数就认为其是无理数.知知2 2讲讲知知识点点实数实数21.定义定义 有理数和无理数统称为实数有理数和无理数统称为实数.特别解读：特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立是无理数，反之亦成立.(2)引入无理数后，我们认识的数的范围由原来的有理数引入无理数后，我们认识的数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们研究问题时，若没有特殊说明，扩大到实数，今后我们研究问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行就应在实数范围内进行.知知2 2讲讲2.分类分类(1)按定义分类：按定义分类：实数实数有理数有理数无理数无理数整数整数分数分数正整数正整数0负整数负整数正分数正分数负分数负分数正无理数正无理数负无理数负无理数有限小数或无限有限小数或无限循环小数循环小数无限不循环小数无限不循环小数知知2 2讲讲(1)按性质分类：按性质分类：实数实数正实数正实数正有理数正有理数正无理数正无理数负实数负实数负有理数负有理数负无理数负无理数0知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.实实数数的的分分类类有有不不同同的的方方法法，但但无无论论用用哪哪一一种种分分类类的的方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏.2.0 既不是正实数也不是负实数既不是正实数也不是负实数.3.我我们们通通常常把把0 和和正正实实数数统统称称为为非非负负数数，把把0 和和负负实实数统称为非正数数统称为非正数.知知2 2练练例2.知知2 2练练有理数：有理数：；无理数：无理数：；整数：整数：；.个个1 之间之间0 的个数逐次加的个数逐次加1)，知知2 2练练分数：分数：；正实数：正实数：；负实数：负实数：.知知2 2练练解法提醒解法提醒一一化化简简，二二判判断断.所所有有的的有有理理数数都都可可以以化化成成有有限限小小数数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数.知知2 2练练特别警示特别警示对对实实数数进进行行分分类类时时，应应先先对对某某些些数数进进行行计计算算或或者者化化简简，然然后后根根据据化化简简结结果果进进行行分分类类，但但是是往往括括号号里里面面填填数数时时一一定定要填原数要填原数，而不能填化简后的数，而不能填化简后的数.知知3 3讲讲知知识点点实数与数轴实数与数轴31.实数与数轴间的关系实数与数轴间的关系 实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的.“一一对应一一对应”包含着两层含义：包含着两层含义：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数数轴上的每一个点都表示一个实数.知知3 3讲讲2.利用数轴比较实数的大小利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.3.数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点点A、点、点B在数轴上表示的实数分别为在数轴上表示的实数分别为x1、x2，则，则AB|x1x2|.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.在在数数轴轴上上表表示示无无理理数数时时，一一般般只只能能通通过过估估算算标标出出其近似位置；其近似位置；2.借借助助数数轴轴上上的的点点可可以以把把实实数数直直观观地地表表示示出出来来，数数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.知知3 3练练例3知知3 3练练知知3 3练练知知3 3练练期中期中海安市海安市 如图如图4.3-3，数轴上的点，数轴上的点P，A表示的数表示的数分别为分别为1，2，过，过A点的直线点的直线l垂直于数轴，点垂直于数轴，点B在直在直线线l上，且上，且ABOA连接连接PB，以，以P 为圆心，为圆心，PB长为半径作弧，交数轴正半长为半径作弧，交数轴正半轴于点轴于点C，则点，则点C表示的数为表示的数为_.例4知知3 3练练解题秘方：解题秘方：根据勾股定理计算出线段根据勾股定理计算出线段PB的长度，然后计算出数的长度，然后计算出数轴上原点轴上原点O到点到点C之间的线段长度，即可得到点之间的线段长度，即可得到点C所表示的数所表示的数知知3 3练练方法提醒方法提醒本本题题考考查查了了实实数数与与数数轴轴上上的的点点的的一一一一对对应应关关系系，解解此此类类问问题需要注意三点：题需要注意三点：利利用用圆圆规规在在数数轴轴上上画画弧弧，通通常常运运用用勾勾股股定定理理求求斜斜边边长长度度，根据根据“圆弧半径相等圆弧半径相等”在数轴上确定线段长度；在数轴上确定线段长度；确确定定数数轴轴上上点点所所表表示示的的数数，通通常常求求原原点点到到该该点点之之间间的的线线段段长长度度可可利利用用“数数轴轴上上两两点点间间的的距距离离较较大大的的数数较较小小的的数数”确定线段长度；确定线段长度；有时还根据数的符号以及绝对值的大小进行判断有时还根据数的符号以及绝对值的大小进行判断知知4 4讲讲知知识点点实数的性质实数的性质4知知4 4讲讲2.比较实数的大小比较实数的大小(1)定义法：正数大于定义法：正数大于0，负数小于，负数小于0，正数大于一切，正数大于一切负数；负数；(2)性质法：两个正数性质法：两个正数,绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小绝对值大的数反而小.知知4 4练练例5解题秘方：解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数、绝对值利用实数的性质求相反数、倒数、绝对值.知知4 4练练知知4 4练练知知4 4练练方法点拨方法点拨1.求一个数的相反数，就是在这个数前面添上求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“”.2.求求一一个个数数的的绝绝对对值值时时，首首先先要要判判断断所所求求数数的的符符号号，然然后后根根据据“正正数数的的绝绝对对值值等等于于它它本本身身，负负数数的的绝绝对对值值等等于于它的相反数，它的相反数，0的绝对值等于的绝对值等于0”写出这个数的绝对值写出这个数的绝对值.知知5 5讲讲知知识点点实数的运算实数的运算51.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.知知5 5讲讲2.实数的运算律实数的运算律加法交换律：加法交换律：abba；加法结合律：加法结合律：(ab)ca(bc)；乘法交换律：乘法交换律：abba；乘法结合律：；乘法结合律：(ab)ca(bc)；乘法分配律：乘法分配律：(ab)cacbc.知知5 5讲讲3.运算种类运算种类运算级别运算级别第一级第一级第二级第二级第三级第三级运算名称运算名称加加减减乘乘除除乘方乘方开方开方运算结果运算结果和和差差积积商商幂幂方根方根知知5 5讲讲特别提醒特别提醒1.运用运算律进行实数运算时要做到：运用运算律进行实数运算时要做到：“看看”看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；“用用”运用运算律或公式；运用运算律或公式；“查查”检查过程和结果是否正确检查过程和结果是否正确.2.负实数只能开奇次方，不能开偶次方负实数只能开奇次方，不能开偶次方.3.计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号.知知5 5练练例6知知5 5练练解题秘方：解题秘方：紧扣实数混合运算的顺序，首先利用乘方运紧扣实数混合运算的顺序，首先利用乘方运算、开方运算、零指数幂及负整数指数幂的意义进行化算、开方运算、零指数幂及负整数指数幂的意义进行化简，然后再计算简，然后再计算知知5 5练练解：原式解：原式2644原式原式3122知知5 5练练知知6 6讲讲知知识点点用计算器求算术平方根或立方根用计算器求算术平方根或立方根6用计算器求算术平方根或立方根的步骤用计算器求算术平方根或立方根的步骤1.用计算器求一个正数用计算器求一个正数a的算术平方根：的算术平方根：按按 (开机键开机键)；在计算器上依次按以下各键：在计算器上依次按以下各键：，显示的结，显示的结果即为果即为a的算术平方根；的算术平方根；2.用计算器求一个有理数用计算器求一个有理数a的立方根：的立方根：按按 (开机键开机键)；在计算器上依次按以下各键：在计算器上依次按以下各键：，显示，显示的结果即为的结果即为a的立方根的立方根.知知6 6讲讲注意注意1.不不同同型型号号的的计计算算器器按按键键顺顺序序有有可可能能不不同同，应应注注意意先阅读使用说明书，再按使用说明进行计算；先阅读使用说明书，再按使用说明进行计算；2.写最后结果时，注意题目要求的精确度写最后结果时，注意题目要求的精确度.知知6 6练练例7解题秘方：解题秘方：紧扣用计算器求算术平方根、立方根的方法紧扣用计算器求算术平方根、立方根的方法依次按键，求出结果即可依次按键，求出结果即可知知6 6练练知知6 6练练特别警示特别警示利利用用计计算算器器求求一一个个数数的的算算术术平平方方根根与与立立方方根根，它它们们的的按按键键顺顺序序是是不不同同的的；要要特特别别注注意意计计算算器器的的型型号号和按键顺序和按键顺序.实数实数实数实数用计算器计算用计算器计算估算估算无理数无理数实数与数轴实数与数轴。