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1、2.1 2.1 圆的对称性圆的对称性第二章第二章 圆圆逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u圆圆u点与圆的位置关系点与圆的位置关系u圆的有关概念圆的有关概念u圆的对称性圆的对称性知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点圆圆11.圆的定义圆的定义(1)静态定义：静态定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半径所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半径.(2)动态定义：动态定义：圆也可以看成是平面内一个动点绕一个圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图
2、形，定点叫作圆心，定点与动点定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心，定点与动点的连线段叫作半径的连线段叫作半径.感悟新知感悟新知2.圆的表示法：圆的表示法：以点以点 O 为圆心的圆叫作圆为圆心的圆叫作圆 O，记作，记作 O.3.圆的特性：圆的特性：(1)圆上各点到定点圆上各点到定点(圆心圆心 O)的距离都等于定长的距离都等于定长(半径半径 r),即同圆的半径相等即同圆的半径相等.(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，即到圆心到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，即到圆心的距离等于半径的点在圆上的距离等于半径的点在圆上.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.确
3、定一个圆需要确定一个圆需要“两个要素两个要素”，一是，一是圆心圆心：圆心：圆心定其位置，二是定其位置，二是半径半径：半径定其大小：半径定其大小.2.圆是一条封闭的曲线，曲线是圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周圆周”,而不能认而不能认为是为是“圆面圆面”.3.“圆上的点圆上的点”指圆周上的点指圆周上的点.知知1 1练练感悟新知感悟新知下列条件中，能确定一个圆的是下列条件中，能确定一个圆的是()A.以点以点 O 为圆心为圆心B.以以 10 cm 长为半径长为半径C.以点以点 A 为圆心，为圆心，4 cm 长为半径长为半径D.经过已知点经过已知点 M例1知知1 1练练感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1
4、.圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心圆心和和半径半径，两者缺一不可；两者缺一不可；2.“点在圆上点在圆上”和和“圆过点圆过点”表示的意义都是：这给点在圆表示的意义都是：这给点在圆周上周上.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，由此可知由此可知A，B，D 错误；圆心和半径都确定，这样错误；圆心和半径都确定，这样的圆有且只有一个的圆有且只有一个(唯一唯一)，由此可知，由此可知
5、 C 正确正确.解题秘方：解题秘方：紧扣圆的定义的紧扣圆的定义的“两要素两要素”进行判断进行判断.答案：答案：C感悟新知感悟新知知知1 1练练 模拟模拟长沙长沙 下列图形中，四个顶点一定在同一个下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是圆上的是()A.菱形、平行四边形菱形、平行四边形 B.矩形、正方形矩形、正方形C.正方形、菱形正方形、菱形 D.矩形、平行四边形矩形、平行四边形例2知知1 1练练感悟新知感悟新知答案：答案：B解题秘方：解题秘方：只需说明几何图形的对角线的交点到只需说明几何图形的对角线的交点到四个顶点的距离相等即可四个顶点的距离相等即可.解：菱形和平行四边形的对角线互相平分，但不一
6、定解：菱形和平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以对角线的交点到四个顶点的距离不一定相相等，所以对角线的交点到四个顶点的距离不一定相等，故等，故 A，C，D 错误；矩形和正方形的对角线互相错误；矩形和正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线的交点到四个顶点的距离相平分且相等，所以对角线的交点到四个顶点的距离相等，故等，故 B 正确正确.知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒本题运用本题运用数形结合思想数形结合思想，将说明，将说明“位置关系位置关系”转化为说明转化为说明“数量关系数量关系”，即将求证几个点在同一，即将求证几个点在同一个圆上转化为证明这几个点到某点（圆心）的距离个圆
7、上转化为证明这几个点到某点（圆心）的距离相等相等.“到定点的距离相等（数量关系）的点在同一到定点的距离相等（数量关系）的点在同一个圆上（位置关系）个圆上（位置关系）”是是证明多点共圆问题的常用证明多点共圆问题的常用方法方法.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点点与圆的位置关系点与圆的位置关系21.把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点；到圆心的距把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点；到圆心的距离大于半径的点叫作圆外的点离大于半径的点叫作圆外的点.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系设设 O 的半径为的半径为 r，点，点 P 到圆心到圆心 O 的距离的距离 OP=
8、d，则有：，则有：点和圆的位置关系点和圆的位置关系 特点特点 等价关系等价关系点在圆外点在圆外 点到圆心的距离大点到圆心的距离大于半径于半径 点点 P 在圆外在圆外 dr点在圆上点在圆上 点到圆心的距离等点到圆心的距离等于半径于半径 点点 P 在圆上在圆上 d=r点在圆内点在圆内 点到圆心的距离小点到圆心的距离小于半径于半径 点点 P 在圆内在圆内 dr感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒 符号符号“”读作读作“等价于等价于”，它表示从符，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为因果关系端互为因果关系.知
9、知2 2讲讲感悟新知感悟新知拓宽视野拓宽视野圆的外部圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；圆上圆上可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合；可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合；圆的内部圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.感悟新知感悟新知知知2 2练练已知已知 O 的半径的半径 r=5 cm，圆心，圆心 O 到直线到直线 l 的距离的距离d=OD=3 cm，在直线，在直线 l 上有上有 P，Q，R 三点，且有三点，且有 PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么，那么 P，Q，R 三点
10、三点与与 O 的位置关系各是怎样的？的位置关系各是怎样的？例3知知2 2练练感悟新知感悟新知解法巧记解法巧记点与圆的位置关系，点与圆的位置关系，d，r 关系是关键，关系是关键，d小于小于r在圆内，在圆内，d等于等于r在圆上，在圆上，d大于大于r在圆外在圆外.知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况定点的位置情况.知知2 2练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点圆的有关概念圆的有关概念3定义定义 注意注意弦弦 连接圆上任意两点的线连接圆上任意两点的线段叫作弦段叫作弦 圆中有无数条弦，其中直圆
11、中有无数条弦，其中直径是最长的弦径是最长的弦直径直径 经过圆心的弦叫作直径经过圆心的弦叫作直径 感悟新知感悟新知知知3 3讲讲弧、弧、半圆、半圆、劣弧、劣弧、优弧优弧(1)圆上任意两点间的部分叫圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；作圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；条弧都叫作半圆；(3)小于半圆的弧叫作劣弧；小于半圆的弧叫作劣弧；(4)大于半圆的弧叫作优弧大于半圆的弧叫作优弧弧包括优弧、劣弧弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优是劣弧，也不是优弧弧感悟新知感悟新知知知3 3
12、讲讲等圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆能够重合的两个圆叫作等圆.容容易看出：半径相等的两个圆是易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等半径相等等圆只和半径的大等圆只和半径的大小有关，和圆心的小有关，和圆心的位置无关位置无关等弧等弧 能够互相重合的弧叫作等弧能够互相重合的弧叫作等弧等弧只能出现在同等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅是全等的，而不仅仅是弧的长度相等仅是弧的长度相等知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.弦与直径的关系：弦与直径的关系：直径是过圆心（或最长）的弦，但直径是过圆心（或最长）的弦，但弦不一
13、定是直径弦不一定是直径.2.弧与半圆的关系：弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆.3.弦与弧的关系：弦与弧的关系：(1)弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条的部分，是曲线，也有无数条.(2)每条弧对每条弧对 一一 条弦；而每条弦对的弧有两条条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优一条优弧、一条劣弧或两个半圆弧、一条劣弧或两个半圆.知知3 3练练感悟新知感悟新知下列语句中正确的有下列语句中正确的有()直径是弦；直径是弦；弦是直径；弦是直径；半径相等的两个半圆是半径相等的两个半圆是等弧；等弧
14、；长度相等的两条弧是等弧；长度相等的两条弧是等弧；半圆是弧，弧半圆是弧，弧不一定是半圆不一定是半圆.A.1 个个 B.2 个个 C.3 个个 D.4 个个例4知知3 3练练感悟新知感悟新知警示误区警示误区只有在同圆或等圆中才可能有等弧，只有在同圆或等圆中才可能有等弧，等弧长度一定相等弧长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧等，但长度相等的弧不一定是等弧.弧不仅有长度，还有度数弧不仅有长度，还有度数，规定：半圆的度数为，规定：半圆的度数为180，劣弧的度数小于，劣弧的度数小于180，优弧的度数大于，优弧的度数大于 180.知知3 3练练感悟新知感悟新知答案：答案：C解题秘方：解题秘方：紧扣圆的
15、相关概念进行解答紧扣圆的相关概念进行解答.解：直径是最长的弦，故解：直径是最长的弦，故正确；直径是过圆心的弦，正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故但弦不一定是直径，故错误；半圆是弧，半径相等错误；半圆是弧，半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故正确；只正确；只有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故正确正确.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点圆的对称性圆的对称性41.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心圆是中心对称图形，圆心是它
16、的对称中心.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.圆是轴对称图形，任意一条圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是都是圆的对称圆的对称轴轴.(1)圆的对称轴有无数条圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在的直线圆的对称轴是直径所在的直线”或说成或说成“圆的对称圆的对称轴是经过圆心的直线轴是经过圆心的直线”.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知警示误区警示误区因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说所以不能说“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”.感悟新知感悟新知知知4 4练练 模拟模拟雅安雅安 如图如图 2.12 的图形中，不是轴对称图的图形中，不是轴对称图形的是形的是()例5知知4 4练练感悟新知感悟新知答案：答案：B解题秘方：解题秘方：由于圆的特殊轴对称性，只需判断圆由于圆的特殊轴对称性，只需判断圆内图形是否是以过圆心的直线为对称内图形是否是以过圆心的直线为对称轴的轴对称图形即可轴的轴对称图形即可.解：解：A.是轴对称图形，故是轴对称图形，故 A 不符合题意；不符合题意；B.不是轴对称图形，故不是轴对称图形，故 B 符合
