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1、2.2 2.2 圆的对称性圆的对称性第第2 2章章 对称图形对称图形圆圆逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u圆的对称性圆的对称性u圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系u圆心角的度数与它所对的弧的度圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系数的关系u垂径定理垂径定理知知识点点圆的对称性圆的对称性知知1 1讲讲11.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心2.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴称轴(1)圆的对称轴有无数条圆的对称轴有无数条.(2)圆的对称轴是过圆
2、心的任意一条直线，或说成圆的圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对称轴是直径所在直线对称轴是直径所在直线知知1 1讲讲3.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性旋转不变性是圆具有的独特的性质之一旋转不变性是圆具有的独特的性质之一知知1 1讲讲警示误区警示误区因因为为直直径径是是弦弦，弦弦是是线线段段，而而对对称称轴轴是是直直线线，所以不能说所以不能说“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”.知知1 1练练例1月考月考徐州徐州 如图如图2.2-1，以点，以点O
3、为旋转中心旋转如图所为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，则旋转角示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，则旋转角可以为可以为()A.60 B.180 C.90 D.120知知1 1练练解题秘方：解题秘方：紧扣圆的旋转不变性，结合旋转中心紧扣圆的旋转不变性，结合旋转中心O确定旋确定旋转角转角答案：答案：D解：解：因为圆心因为圆心O为旋转中心，旋转后的图形与原图形重合，为旋转中心，旋转后的图形与原图形重合，所以所以AOBBOCAOC3603120所以旋转角可以为所以旋转角可以为120知知1 1练练特别提醒特别提醒在在圆圆的的许许多多性性质质中中，圆圆的的对对称称性性(轴轴对对称
4、称、中中心心对对称称及及旋旋转转不不变变性性)是是最最基基本本的的性性质质此此题题利利用用性质时要结合图形，易误得旋转角度是性质时要结合图形，易误得旋转角度是60知知2 2讲讲知知识点点圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系21.定理定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等弦相等.2.示例示例 弧、弦、圆心角的关系：弧、弦、圆心角的关系：如图如图2.2-2，若，若AOBAOB，则则 ABAB，ABAB.知知2 2讲讲3.推论推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条
5、弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.这一推论包含三层意思，可用数学语言描述这一推论包含三层意思，可用数学语言描述如下：如图如下：如图2.2-2，AB、AB 是是 O的两条弦的两条弦.(1)若若AOBAOB，则，则ABAB，ABAB；(2)若若ABAB，则，则AOBAOB，ABAB；(3)若若ABAB，则，则AOBAOB，ABAB.知知2 2讲讲警示误区警示误区不不能能忽忽略略“在在同同圆圆或或等等圆圆中中”这这个个前前提提，如如果果丢丢掉掉了了这这个个前前提提，即即使使圆圆心心角角相相等等，所所对对的的弧弧、弦弦也也不不一
6、一定定相相等等.如如图图2.2-3，两两个个圆圆是是同同心心圆圆，AB与与AB对对应应的的圆圆心心角相等，但角相等，但ABAB，ABAB.知知2 2练练如图如图2.2-4，AB、CD是是 O的两条直径，弦的两条直径，弦CEAB.求证：求证：BCAE.例2解题秘方：解题秘方：构造圆心角，利用构造圆心角，利用“在同圆中，相等的在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等”证明证明.知知2 2练练证明：如图证明：如图2.2-4，连接，连接OE.OEOC，OCEOEC.CEAB，OCEBOC，OECAOE.BOCAOE.BCAE(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等在同圆中，相等的圆心角所对的弧
7、相等).知知2 2练练技巧提醒技巧提醒由由例例2的的结结论论可可知知，在在同同圆圆中中，圆圆的的两两条条平平行行弦弦所所夹夹的的弧弧相相等等，以以后后若若遇遇到到圆圆的的两两条条平平行行弦弦，可可考考虑虑运运用用它它们们所所夹夹的的弧弧相相等等证证明明两两条条弧弧所所对对的的弦弦、圆圆心心角角分别相等分别相等.知知2 2练练模拟模拟武汉武汉 如图如图2.2-5，A、B、C、D是是 O上四点，上四点，且且ABCD.求证：求证：ADBC.例3解题秘方：解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的关系定理的推由圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论证明论证明 ADBC即可解决问题即可解决问题知知2 2练练证明：证明
8、：ABCD，ABCD.ACBC ACAD.ADBC.ADBC.知知2 2练练解法提醒解法提醒在在同同一一个个圆圆(或或等等圆圆)中中，两两个个圆圆心心角角、两两条条弧弧和和两两条条弦弦中中只只要要有有一一组组量量相相等等，就就能能推推出出它它们们所所对对应应的的另另外外两两组组量量相相等等；弦弦有有和和差差关关系系，所所对对的的弧弧也也有和差关系有和差关系.知知3 3讲讲知知识点点圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系3圆心角的度数与它所对的弧的度数相等圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.1的的圆心角所对的弧叫做圆心角所对的弧叫做1的弧的弧.n的圆心角对着的圆
9、心角对着n的的弧，弧，n的弧对着的弧对着n的圆心角的圆心角.知知3 3讲讲注意：注意：(1)弧的度数与圆的半径无关，即在大小不相等的两个圆中，弧的度数与圆的半径无关，即在大小不相等的两个圆中，度数相等的圆心角，它们所对的弧的度数相等，但这两度数相等的圆心角，它们所对的弧的度数相等，但这两条弧不是等弧条弧不是等弧.(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是角与弧相圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是角与弧相等，所以圆心角等，所以圆心角AOB与它所对的弧与它所对的弧AB的度数相等，的度数相等，不能写成不能写成AOBAB.知知3 3讲讲技巧提醒技巧提醒根根据据“圆圆心心角角的的度度数数与与它
10、它所所对对的的弧弧的的度度数数相相等等”，可可知知圆圆心心角角的的度度数数与与它它所所对对的的弧弧的的度度数数可可以以相相互互转转化，求弧的度数一般转化为求所对的圆心角的度数化，求弧的度数一般转化为求所对的圆心角的度数知知3 3练练三模三模南通南通 如图如图2.2-6，O经过五边形经过五边形OABCD的四的四个顶点个顶点 若若AD的度数为的度数为150，OAB75，ODC60，则，则 BC的度数为的度数为()A25 B40 C50 D60例4知知3 3练练解题秘方：解题秘方：先利用辅助线把五边形先利用辅助线把五边形OABCD 分为分为3 个等腰三角形，然后结合个等腰三角形，然后结合“圆心角的圆
11、心角的度数与它所对的弧的度数相等度数与它所对的弧的度数相等”得出得出BC的度数的度数.知知3 3练练解：解：连接连接OB、OC，如图如图2.2-6，OAOB，OCOD，OBAOAB75，OCDODC60.根据三角形内角和定理可得根据三角形内角和定理可得1180OABOBA30，3180ODCOCD60.知知3 3练练答案：答案：DAD的度数为的度数为150，AOD150(圆心角的度数与它所对的弧的度数相圆心角的度数与它所对的弧的度数相等等).2AOD(13)60.BC的度数为的度数为60(圆心角的度数与它所对的弧的度数圆心角的度数与它所对的弧的度数相等相等)知知3 3练练思路导引思路导引连接连
12、接OB、OCOAOB，OCODOAB75，ODC601与与3的度数的度数2的度数的度数BC的度数的度数知知4 4讲讲知知识点点垂径定理垂径定理41.垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦以及弦平分弦以及弦所对的所对的两条弧两条弧.知知4 4讲讲2.示例示例 如图如图2.2-7，CDAB于点于点E，CD是是 O的直径，的直径，AB是是 O的弦，那么的弦，那么AEBE，ADBD，ACBC.可用几何语言表述为：可用几何语言表述为：CD是是 O的直径，的直径，CDABAEBE，ADBD，ACBC知知4 4讲讲3.推论推论 平分弦平分弦(非直径非直径)的直径垂直于这条弦，的直径垂直于这条弦
13、，并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.知知4 4讲讲4.示例示例 如图如图2.2-8，CD是是 O的直径，的直径，AB是是 O的弦的弦(非直非直径径)，AB与与CD相交于点相交于点E，且，且AEBE，那么，那么CD垂直于垂直于AB，并且，并且ACCB，ADDB.可用几何语言表述为：可用几何语言表述为：CD是是 O的直径，的直径，AEBE，AB不是直径不是直径CDAB，ADDB，ACCB知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.“垂垂直直于于弦弦的的直直径径”中中的的“直直径径”还还可可以以是是垂垂直直于于弦弦的的半半径径或或过过圆圆心心垂垂直直于于弦弦的的直直线线.其其实实质质是是：
14、过过圆圆心且垂直于弦的线段或直线心且垂直于弦的线段或直线.2.“两条弧两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.知知4 4讲讲拓宽视野拓宽视野对对于于圆圆中中的的一一条条直直线线，如如果果具具备备下下列列五五个个条条件件中中的的任任意两个，那么一定具备其他三个：意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；过圆心；(2)垂直于弦；垂直于弦；(3)平分弦平分弦(非直径非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧.简记为简记为“知二推三知二推三”.知知4 4练练中考中考甘孜州甘孜州 如图如图2.2-9，AB是是 O的直径，
15、弦的直径，弦CD AB 于点于点H.若若AB10，CD8，则，则OH 的长度为的长度为_例53解题秘方：解题秘方：紧扣垂径定理得到紧扣垂径定理得到CH4，再利用，再利用勾股定理计算出勾股定理计算出OH 的长度的长度.知知4 4练练知知4 4练练方法提醒方法提醒利用垂径定理求线段的长的方法：利用垂径定理求线段的长的方法：垂垂径径定定理理是是解解决决圆圆中中的的计计算算、证证明明问问题题常常用用的的知知识识，求求线线段段长长时时，一一般般利利用用半半径径、圆圆心心到到弦弦的的垂垂线线段段、弦弦的的一一半半构构造造直直角角三三角角形形，运运用用勾勾股股定定理理求求解解，即即用用“垂垂径径定定理理勾股
16、定理勾股定理”求解求解知知4 4练练例6知知4 4练练解题秘方：解题秘方：连接连接AD，过点，过点A作作AEBD于于E，利，利用同圆的半径相等可得用同圆的半径相等可得ADAB5，利用垂径定理可，利用垂径定理可知知DEBE，得，得CEDE2，再利用勾股定理构建方，再利用勾股定理构建方程可求程可求DE的长，进而可得的长，进而可得CD的长的长.知知4 4练练答案：答案：C知知4 4练练思路导引思路导引连接连接AD，作，作AEBD 于于EDEBECEDE2AE252DE2，AE242(DE2)252DE2=42(DE2)2圆的对称性圆的对称性圆的对称性圆的对称性轴对称轴对称垂径定理垂径定理中心对称中心对称旋转不变性旋转不变性圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系
