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1、8.4 8.4 因式分解因式分解第八章第八章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解第第2 2课时课时公式法公式法逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u用平方差公式分解因式用平方差公式分解因式u用完全平方公式分解因式用完全平方公式分解因式u用分组分解法分解因式用分组分解法分解因式知知1 1讲讲知识点用平方差公式分解因式用平方差公式分解因式11.平方差公式法平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的差的积.即：即：a2-b2=(a+b)(a-b).知知1 1讲讲特别解读特别解读1.
2、因因式式分分解解中中的的平平方方差差公公式式是是乘乘法法公公式式中中的的平平方方差差公公式式逆用逆用的形式的形式.2.乘乘法法公公式式中中的的平平方方差差指指的的是是符符合合两两数数和和与与两两数数差差的的积积的的条条件件后后，结结果果写写成成平平方方差差；而而因因式式分分解解中中的的平平方方差差公公式式指指的的是是能能写写成成平平方方差差形形式式的的多多项项式式，可可以以分分解成两个数的和乘两个数的差的形式解成两个数的和乘两个数的差的形式.知知1 1讲讲2.平方差公式的特点：平方差公式的特点：(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号
3、相反；号相反；(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差个数的和，另一个二项式是这两个数的差.3.运用平方差公式分解因式的步骤：运用平方差公式分解因式的步骤：一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面面.二定：二定：确定公式中的确定公式中的a 和和b，除，除a 和和b 是单独一个数或字是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括
4、起来，母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体表示一个整体.三套：套用平方差公式进行分解三套：套用平方差公式进行分解.四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.知知1 1讲讲知知1 1讲讲例1 分解因式：分解因式：(1)4x2-25y2；解：解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)；知知1 1讲讲知知1 1讲讲(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：解：16(a-b)2-25(a+b)2
5、=4(a-b)+5(a+b)4(a-b)-5(a+b)=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.确定公式中的确定公式中的“a”和和“b”时，不能只看表面时，不能只看表面，如，如4x2=(2x)2,“a”指的是指的是2x；16(a-b)2=4(a-b)2，“a”指的是指的是4(a-b).2.平平方方差差公公式式可可以以连连续续运运用用.如如(3)题题，必必须须做做到到每每个个因因式式不不能能再再分解为止分解为止.3.运运用用平平方方差差公公式式分分解解因因式式时时，若若a、b都都是是多多项项式
6、式，先先要要添添加加括号，再去括号，然后化简最后结果括号，再去括号，然后化简最后结果.解题秘方：解题秘方：先确定平方差公式中的先确定平方差公式中的“a”“b”，再运用平，再运用平方差公式分解因式方差公式分解因式.知知2 2讲讲知识点用完全平方公式分解因式用完全平方公式分解因式21.完全平方式完全平方式：形如：形如a22ab+b2 这样的式子叫做完全平方这样的式子叫做完全平方式式.完全平方式的条件：完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数首末两项是两个数(或式子或式子)的平方且符号相同，中间的平方且符号相同，中间项是这两个数项是这两个数(或式子或式子
7、)的积的的积的2 倍，符号可以是倍，符号可以是“+”，也可以是，也可以是“-”.2.完全平方公式法完全平方公式法 两个数的平方和加上两个数的平方和加上(或减去或减去)这两个数这两个数的积的的积的2 倍，等于这两个数的和倍，等于这两个数的和(或差或差)的平方的平方.即：即：a22ab+b2=(ab)2.3.完全平方公式法的特点完全平方公式法的特点等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和(或或差差)的平方的平方.知知2 2讲讲知知2 2讲讲特别解读特别解读1.因因式式分分解解中中的的完完全全平平方方公公式式是是乘乘法法公公式式中中的的完完全全平平方方
8、公公式的逆用式的逆用.2.结结果果是是和和的的平平方方还还是是差差的的平平方方由由乘乘积积项项的的符符号号确确定定，乘乘积积项项的的符符号号可可以以是是“+”，也也可可以以是是“-”，而而两两个个平平方方项项的的符符号号必必须须相相同同，否否则则就就不不是是完完全全平平方方式式，也也就就不不能能用完全平方公式进行因式分解用完全平方公式进行因式分解.知知2 2讲讲3.用用完完全全平平方方公公式式分分解解因因式式时时，若若多多项项式式各各项项有有公公因因式式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.4.因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：(1)当多项式
9、有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时时(或提取公因式后或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；就利用公式法分解因式；(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；式，再分解因式；(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.知知
10、2 2讲讲知知2 2讲讲已知已知 9a2+ka+16 是一个完全平方式，是一个完全平方式，则则 k 的的 值是值是 _.24例2解题秘方：解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.解：解：因为因为 9a2=(3a)2，16=42，9a2+ka+16 是一个完全平方式，是一个完全平方式，所以所以 ka=23a4=24a.所以所以 k=24.知知2 2讲讲方法点拨方法点拨求与完全平方式有关的字母值的方法：求与完全平方式有关的字母值的方法：可可根根据据首首项项、尾尾项项和和中中间间项项三三者者之之间间的的关关系系，由由其其中中两两项项求求出出字字母母的的
11、值值，要要注注意意中中间间项项的的符符号号有有“”两两种情况种情况.知知2 2讲讲分解因式：分解因式：(1)x2-14x+49；解：解：x2-14x+49=x2-2x7+72=(x-7)2；例3知知2 2讲讲(2)-6ab-9a2-b2；解：解：-6ab-9a2-b2=-(9a2+6ab+b2)=-(3a)2+23ab+b2=-(3a+b)2；知知2 2讲讲知知2 2讲讲(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.解：解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2(x2+6x)9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.完完全全平平方方公公式式可可以以连连续续使使
12、用用，因式分解的结果要彻底因式分解的结果要彻底.知知2 2讲讲解法提醒解法提醒运运用用完完全全平平方方公公式式分分解解因因式式的的关关键键是是判判断断每每个个多多项项式式是是否否符符合合完完全全平平方方式式的的结结构构特特点点，若若符符合合，进进一一步步确确定定公公式式中中的的“a”和和“b”.注注意意当当首首项项系系数数为为负负数数时时，一一般般要要先提出负号，括号内多项式各项都要变号先提出负号，括号内多项式各项都要变号.如如(2)题题.解题秘方：解题秘方：先确定完全平方公式中的先确定完全平方公式中的“a”和和“b”，再，再运用完全平方公式分解因式运用完全平方公式分解因式.知知2 2讲讲分解
13、因式：分解因式：(1)3a3b+48ab3；(2)x4 8x2+16；(3)25x2(ab)+36y2(ba).例4知知2 2讲讲方法点拨方法点拨“一提、二套、三查一提、二套、三查”是分解因式的步骤：是分解因式的步骤：有有公公因因式式的的先先提提取取公公因因式式，然然后后套套用用公公式式，若若多多项项式式是是两两项项，则则考考虑虑用用平平方方差差公公式式，若若多多项项式式是是三三项项，则则考考虑虑用用完完全全平平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底.解题秘方：解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后先观察是否有公
14、因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.知知2 2讲讲解：解：(1)3a3b+48ab3=3ab(a2 16b2)=3ab(a+4b)(a 4b)；(2)x4-8x2+16=(x24)2=(x+2)(x2)2=(x+2)2(x2)2；(3)25x2(ab)+36y2(ba)=25x2(ab)36y2(ab)=(ab)(25x236y2)=(ab)(5x+6y)(5x6y).知知3 3讲讲知识点用分组分解法分解因式用分组分解法分解因式3分组分解法：分组分解法：当一个多项式项数较多，且各项既没有当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式
15、，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法种方法叫做分组分解法.知知3 3讲讲理解：理解：(1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式.(2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四需要
16、运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上项以上.如果是四项式，一般有两种分组方法：如果是四项式，一般有两种分组方法：分为分为“2+2”的形式；的形式；分为分为“1+3”的形式的形式.知知3 3讲讲解法提醒解法提醒分分组组的的目目的的是是分分组组后后能能用用提提公公因因式式法法或或用用公公式式法分解因式，且各组之间能继续分解因式法分解因式，且各组之间能继续分解因式.多多项项式式的的分分组组有有时时不不能能一一次次就就成成功功，需需要要大大胆胆地尝试，直到达到目的为止地尝试，直到达到目的为止.知知3 3讲讲例5把下列各式分解因式把下列各式分解因式.(1)ad+bdaxaybxby；解：解：ad+bdaxaybxby=(ad ax ay)+(bd bx by)=a(d x y)+b(d x y)=(a+b)(d x y)；知知3 3讲讲(2)4xy+1-4x2 y2；解：解：4xy+1-4x2 y2=1 (4x2 4xy+y2)=1 (2x y)2=(1+2x y)(1 2x+y).知知3 3讲讲解题秘方：解题秘方：分组一般应遵循分组后能运用公式法继续分解，分组一般应遵循分组后能运用公
