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1、19.3 19.3 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形第十九章第十九章 四边形四边形第第2 2课时课时菱形菱形逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u菱形的定义及其性质菱形的定义及其性质u菱形的判定菱形的判定知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点菱形的定义及其性质菱形的定义及其性质11.定义定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.菱形菱形必须满足两个条件必须满足两个条件：一是平行四边形；二是：一是平行四边形；二是一组邻边相等一组邻边相等.二者必须同时具备，缺一
2、不可二者必须同时具备，缺一不可.2.菱形的定义既是菱形的基本性质，又是菱形的基菱形的定义既是菱形的基本性质，又是菱形的基本判定方法本判定方法.感悟新知感悟新知2.性质如下表性质如下表知知1 1讲讲图形图形 性质性质 数学语言数学语言1.菱形的四条边都菱形的四条边都相等相等 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，AB=BC=CD=AD2.菱形的两条对角菱形的两条对角线互相垂直，并且线互相垂直，并且每一条对角线平分每一条对角线平分一组对角一组对角 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，BD AC，DAC=BAC，ACD=ACB，ABD=CBD，ADB=CDB菱形是轴对称图形，有两条对称轴菱形是
3、轴对称图形，有两条对称轴感悟新知感悟新知特别提醒：特别提醒：(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直线平行、垂直以及进行相关的计算等，直线平行、垂直以及进行相关的计算.(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(3)如果菱形的一个内角为如果菱形的一个内角为 60，那么菱形的两条边与较短的，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为对角线构成的三角形为等边三角形等边三角形.(4)菱形的面积菱形的面积=底
4、底 高高=两条对角线长乘积的两条对角线长乘积的一半一半.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知3.矩形与菱形的区别矩形与菱形的区别(1)矩形和菱形都建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一矩形和菱形都建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等；直角，而菱形是附加一组邻边相等；(2)矩形的两条对角线把矩形分割成矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角四个面积相等的等腰三角形形；而菱形的两条对角线把菱形分割成；而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三四个全等的直角三角形角形；(3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直
5、线，而菱形的对称轴是两条称轴是两条对角线所在的直线对角线所在的直线.知知1 1讲讲知知1 1练练感悟新知感悟新知 期末改编期末改编东至县东至县 如如 图图 19.3 19，ABC 中，中，DE BC，EF AB，BE 平分平分 ABC，则四边形，则四边形 DBFE 是菱形吗？为什么？是菱形吗？为什么？例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣定义中紧扣定义中“两个条件两个条件”进行判断进行判断.知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的一种判菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的一种判定方法定方法.在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判
6、在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：解：四边形四边形 DBFE 是菱形，是菱形，理由：理由：DE BC，DEB=EBC，BE 平分平分 ABC，EBC=EBD，EBD=DEB，BD=DE，DE BC，EF AB，四边形四边形 DBFE 是平行四边形，是平行四边形，BD=DE，四边形四边形 DBFE 是菱形是菱形知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 19.320，在菱形，在菱形 ABCD 中，中，E，F 分别是分别是 BC，CD上的点，且上的点，且 B=EAF=60，B
7、AE=18，求，求 CEF 的度数的度数.例2知知1 1练练感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒在菱形中如果出现在菱形中如果出现“30”“60”“120”“一一边等于较短对角线边等于较短对角线”时，往往都指向等边三角形，我们需时，往往都指向等边三角形，我们需用等边三角形的知识来解决用等边三角形的知识来解决.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：如图解：如图 19.320，连接，连接 AC.四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，B=60，AB=BC=CD=DA，D=B=60，ABC 和和 ACD 为等边三角形，为等边三角形，解题秘方：解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质紧扣菱形的性质、三角形外角
8、的性质求解求解.知知1 1练练感悟新知感悟新知技巧点拨技巧点拨在求有关菱形的角的问题时，在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的每条对角线由于菱形的每条对角线都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接都把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线对角线，把四边形问题，把四边形问题转化转化为特殊三角形问题来解答为特殊三角形问题来解答.知知1 1练练感悟新知感悟新知 AB=AC，B=ACF=BAC=60.EAF=60，BAE=CAF，ABE ACF(ASA)，AE=AF.又又 EAF=60，EAF 是等边三角形，是等边三角形，AEF=60.AEC=B+BAE=AEF+CEF，60+1
9、8=60+CEF，CEF=18.知知1 1练练感悟新知感悟新知例3知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒(1)只要证明四边形只要证明四边形OCED是矩形即可；是矩形即可；(2)在在 Rt ACE中，利用勾股定理即可解决问题中，利用勾股定理即可解决问题.知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：本题考查菱形的性质、矩形的判定和本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型中考常考题型知知1 1练练感悟新知感悟新知(1)求证：求证：OE=CD；知知1 1练练
10、感悟新知感悟新知(2)若菱形若菱形 ABCD 的边长为的边长为 6，ABC=60，求，求 AE的长的长知知1 1练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点菱形的判定菱形的判定21.判定定理判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形.数学语言：数学语言：如图如图19.3 22，在四边形在四边形 ABCD 中，中，AB=BC=CD=DA，四边形四边形 ABCD 是菱形是菱形.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.判定定理判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.数学语言：数学语言：如图如图 19.3 23，在，在 ABCD 中，中
11、，AC BD，ABCD 是菱形是菱形.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知2 2练练 中考中考滨州滨州 如图如图 19.324，过过 ABCD 对角线对角线 AC 与与BD 的交点的交点 E 作两条互相垂直的直线，分别交边作两条互相垂直的直线，分别交边 AB、BC、CD、DA 于点于点 P、M、Q、N.例4知知2 2练练感悟新知感悟新知解法点拨解法点拨证明一个四边形是菱形的方法：证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形，用考虑证明这个四边形是平行四边形，用“对角线互对角线互相垂直的平
12、行四边形是菱形相垂直的平行四边形是菱形”进行证明进行证明.知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：本题考查了平行四边形的判定与性质，本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键全等是解题的关键知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：证明：四边形四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，EB=ED，AB CD，EBP=EDQ，BEP=DEQ，PBE QDE(ASA)；(1)求证：求证：PBE
13、 QDE；知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：由证明：由(1)得得 PBE QDE，EP=EQ，同理可得同理可得 BME DNE(ASA)，EM=EN，四边形四边形 PMQN 是平行四边形，是平行四边形，PQ MN，平行四边形平行四边形 PMQN 是菱形是菱形(2)顺次连接点顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形，求证：四边形 PMQN是菱形是菱形感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图 19.325，在四边形在四边形 ABCD 中，中，AB=CD，点点E，F，G，H 分别是分别是 AD，BD，BC，AC 的中点的中点.试试证明：四边形证明：四边形 EFGH 是菱形是菱形.例5知知2 2练练感悟
14、新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四边相等入手判定菱形征，从证四边相等入手判定菱形.知知2 2练练感悟新知感悟新知技巧点拨技巧点拨判定菱形的方法：判定菱形的方法：1.若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；垂直平分；2.若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.知知2 2练练感悟新知感悟新知菱形菱形轴对称性轴对称性边的关系边的关系菱形菱形性质性质判定判定定义定义对角线的关系对角线的关系边的性质边的性质对角线的性质对角线的性质
