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1、17.5 17.5 一元二次方程的应用一元二次方程的应用第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u建立一元二次方程的模型解应用题建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤的一般步骤u可化为一元二次方程的分式方程解可化为一元二次方程的分式方程解法的应用法的应用知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤11.列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为 审、设、列、审、设、列、解、检、答解、检、答.审审 审
2、题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系设设 设未知数设未知数感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读第一步第一步“审审”一般不写出来，但它是关键的一一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程间的关系才能准确列出方程.感悟新知感悟新知列列 根据题目中的等量关系，列出方程根据题目中的等量关系，列出方程解解 解方程，求出未知数的值解方程，求出未知数的值检检 检验方程的解能否保证实际问题有意义检验方程的解能否保证实际问题有意义答答 写出答案，应遵循写出
3、答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，问什么，答什么，怎么问，怎么答怎么答”的原则的原则知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别解读特别解读列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程等式，即方程.感悟新知感悟新知2.列一元二次方程解应用题注意事项列一元二次方程解应用题注意事项(1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其在一道应用题中，往往含有几个未知量
4、，应恰当地选择其中的一个用字母中的一个用字母 x 表示，然后根据各量之间的数量关系，表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含将其他几个量用含 x 的代数式表示出来的代数式表示出来.(2)设未知数时必须写清单位、用对单位设未知数时必须写清单位、用对单位.列方程时，方程两列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位.(3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义.知知1 1讲讲知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨增长率问题中的等量关系增长率问题中的等量关系：(1)
5、增长率增长率=增量增量 原来的量；原来的量；(2)设设 a 为原来的量，为原来的量，m为平均增长率，为平均增长率，n 为增长次数，为增长次数，b为为增长后的量，则有增长后的量，则有a(1+m)n=b.知知1 1练练感悟新知感悟新知 中考中考眉山眉山 建设美丽城市，改造老旧小区某市建设美丽城市，改造老旧小区某市2019 年投入资金年投入资金 1 000 万元，万元，2021 年投入资金年投入资金 1 440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同万元，现假定每年投入资金的增长率相同例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：此题考查了一元二次方程的应用，不此题考查了一元二次方程的应用，不
6、等式的应用，解决此题的关键是紧扣等式的应用，解决此题的关键是紧扣增长率问题中的等量关系和相应的不增长率问题中的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式等关系，列出正确的方程和不等式知知1 1练练感悟新知感悟新知(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；知知1 1练练感悟新知感悟新知解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 x.根据题意，得根据题意，得 1 000(1+x)2=1 440解这个方程，解这个方程，得得 x1=0.2=20%，x2=2.2(不合题意，舍去不合题意，舍去)答：该市
7、改造老旧小区投入资金的年平均增长率为答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 20%知知1 1练练感悟新知感悟新知(2)2021 年老旧小区改造的平均费用为每个年老旧小区改造的平均费用为每个 80 万万元元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加增加 15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市如果投入资金年增长率保持不变，求该市在在 2022 年最多可以改造多少个老旧小区？年最多可以改造多少个老旧小区？知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知 中考中考南京南京 某地计划对长方形广场进行扩建改造某地计划对长方形广场进行扩建改
8、造如图如图 17.5-1，原广场长，原广场长 50 m，宽，宽 40 m，要求扩充后的长，要求扩充后的长方形广场长与宽的比为方形广场长与宽的比为 3 2.扩充区域的扩建费用为每平扩充区域的扩建费用为每平方米方米 30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖铺设元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖铺设地砖费用为每平方米地砖费用为每平方米 100 元元如果计划总费用为如果计划总费用为 642 000 元，元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？扩充后广场的长和宽应分别是多少米？例2知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长此类题除了要准确掌握几何图形
9、的面积、体积或周长公式及计算方法之外，公式及计算方法之外，关键关键是能用未知数表示相关的线段是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍长，以及对方程的根进行取舍.知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣图形中的面积公式，建立一元二紧扣图形中的面积公式，建立一元二次方程的模型解决问题次方程的模型解决问题.知知1 1练练感悟新知感悟新知解：解：设扩充后广场的长是设扩充后广场的长是 3x m，则宽是，则宽是 2x m.根根 据据 题题 意，意，得得 3x 2x 100+30(3x 2x 5040)=642 000.解得解得 x1=30，x2=-30（不合题意，舍去）（不合题意
10、，舍去）所以所以 3x=90，2x=60.答：扩充后广场的长和宽应分别是答：扩充后广场的长和宽应分别是 90 m 和和 60 m.知知1 1练练感悟新知感悟新知 中考中考毕节毕节 2022 年北京冬奥会期间，某网店直年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进接从工厂购进 A、B 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：售价如下表：(注：利润注：利润=销售价销售价 进货价进货价)例3类别类别价格价格A 款钥匙扣款钥匙扣 B 款钥匙扣款钥匙扣进货价进货价(元元/件件)30 25销售价销售价(元元/件件)45 37知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：本题考查了二
11、元一次方程组、一元一本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，利用一次函数的增次不等式的应用，利用一次函数的增减性求利润最大的问题及一元二次方减性求利润最大的问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键解决本题的关键知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒设未知数时，设未知数时，必须写清单位、正确使用单位必须写清单位、正确使用单位.列方程列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位单位.知知1 1练练感悟新知感悟新知(1)网店第一次用网店第一次用 850 元购进元购进
12、 A、B 两款钥匙扣共两款钥匙扣共 30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数；件，求两款钥匙扣分别购进的件数；知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进划再次购进 A、B 两款冰墩墩钥匙扣共两款冰墩墩钥匙扣共 80 件件(进货价进货价和销售价都不变和销售价都不变)，且进货总价不高于，且进货总价不高于 2 200 元应如元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？利润是多少？知知1 1练练感悟新知感悟新知解：设购进解：设购
13、进 A 款冰墩墩钥匙扣款冰墩墩钥匙扣 m 件，则购进件，则购进 B 款冰墩墩款冰墩墩钥匙扣钥匙扣(80m)件件根据题意，得根据题意，得 30m+25(80m)2 200.解得解得 m 40设销售利润为设销售利润为 w 元，元，则则 w=(4530)m+(3725)(80m)=3m+960 w 是关于是关于 m 的一次函数的一次函数知知1 1练练感悟新知感悟新知30，w随着随着m的增大而增大的增大而增大当当 m=40 时，时，w 取最大值，最大值为取最大值，最大值为 340+960=1 080，此时此时 80m=8040=40.答：购进答：购进 A、B 两款冰墩墩钥匙扣各两款冰墩墩钥匙扣各 40
14、 件时销售利润最件时销售利润最大，最大为大，最大为 1 080 元元知知1 1练练感悟新知感悟新知(3)冬奥会临近结束时，网店打算把冬奥会临近结束时，网店打算把 B 款钥匙扣调款钥匙扣调价销售如果按照原价销售，平均每天可售价销售如果按照原价销售，平均每天可售 4 件经件经调查发现，每降价调查发现，每降价 1 元，平均每天可多售元，平均每天可多售 2 件，将销件，将销售价定为每件多少元时，才能使售价定为每件多少元时，才能使 B 款钥匙扣平均每天款钥匙扣平均每天销售利润为销售利润为 90 元？元？知知1 1练练感悟新知感悟新知解：设解：设 B 款钥匙扣降价款钥匙扣降价 a 元销售，元销售，则平均每
15、天多销售则平均每天多销售 2a 件，件，每天能销每天能销 售售(4+2a)件，件，每件的销售利润为每件的销售利润为3725a=12a(元元)根据题意，得根据题意，得(4+2a)(12a)=90解得解得 a1=3，a2=737a1=373=34，37a2=377=30.答：将销售价定为每件答：将销售价定为每件 34 元或每件元或每件 30 元时，才能使元时，才能使 B款钥匙扣平均每天销售利润为款钥匙扣平均每天销售利润为 90 元元知知1 1练练感悟新知感悟新知表格图例表格图例降价前降价前降价后降价后每件盈利每件盈利(元元)12 12a销售量销售量(件件)4 4+2a总盈利总盈利(元元)48(12
16、a)(4+2a)感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点可化为一元二次方程的分式方程解法的应用可化为一元二次方程的分式方程解法的应用21.可化为一元二次方程的分式方程的解法步骤可化为一元二次方程的分式方程的解法步骤(1)去分母去分母(两边同时乘最简公分母两边同时乘最简公分母)，将分式方程化成整式，将分式方程化成整式方程；方程；(2)解整式方程；解整式方程；(3)检验检验.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.解可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤解可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤(1)分析分析找出等量关系；找出等量关系；(2)设元设元用含字母的代数式表示相关的量；用含字母的代数式表示相关的量；(3)列方程列方程列分式方程；列分式方程；(4)解方程；解方程；(5)检验并作答检验并作答.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知解分式方程验根时，只需把求得的整式方程的解分式方程验根时，只需把求得的整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是，则是增根增根，应舍去，应舍去；若最简公分母不为；若最简公分母不为0,则是原方程的根则是原方程的根.感悟新知感悟新
