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1、19.3 19.3 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形第十九章第十九章 四边形四边形第第1 1课时课时矩形矩形逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u矩形的定义及其性质矩形的定义及其性质u直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线的性质u矩形的判定矩形的判定知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点矩形的定义及其性质矩形的定义及其性质11.定义定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.矩形必须具备两个条件：矩形必须具备两个条件：(1)它是一个平行四边形；它是
2、一个平行四边形；(2)它有一个角是直角它有一个角是直角.这两个条件缺一不可这两个条件缺一不可.2.由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法一个四边形是矩形的一种方法.感悟新知感悟新知2.性质性质 矩形的性质如下表：矩形的性质如下表：知知1 1讲讲图形图形 性质性质 数学语言数学语言性质性质1矩形的四矩形的四个角都是直角个角都是直角 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，DAB=DCB=ADC=ABC=90性质性质2矩形的对矩形的对角线相等
3、角线相等 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，AC=BD，OA=OC=OB=OD矩形是轴对称图形，它有两条对称轴矩形是轴对称图形，它有两条对称轴感悟新知感悟新知特别提醒：特别提醒：1.利用矩形的性质可以证明线段相等或存在利用矩形的性质可以证明线段相等或存在倍分关系、直线平行、角相等等倍分关系、直线平行、角相等等.2.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常四个面积相等的等腰三角形，
4、因此有关矩形的计算问题经常转化转化到直角三角形和等腰三角形中来解决到直角三角形和等腰三角形中来解决.知知1 1讲讲知知1 1练练感悟新知感悟新知 中考中考遂宁遂宁 如图如图 19.31，在在 ABC 中，中，AB=AC，点，点D、E 分别是线段分别是线段 BC、AD 的中点，过点的中点，过点 A 作作 BC的平行线交的平行线交 BE 的延长线于点的延长线于点 F，连接，连接 CF(1)求证：求证：BDE FAE；(2)求证：四边形求证：四边形 ADCF 为矩形为矩形例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：本题考查了矩形的判定，全等三角形本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质
5、，等腰三角形的性质，的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键正确地识别图形是解题的关键知知1 1练练感悟新知感悟新知证明：证明：(1)AF BC，AFE=DBE.E 是线段是线段 AD 的中点，的中点，AE=DE，AEF=DEB，BDE FAE(AAS)；(2)BDE FAE，AF=BD，D 是线段是线段 BC 的中点，的中点，BD=CD，AF=CD，AF CD，四边形四边形 ADCF 是平行四边形，是平行四边形，AB=AC，D 是是 BC 的中点，的中点，AD BC，ADC=90，平行四边形平行四边形 ADCF 为矩形为矩形知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒由定
6、义来判定矩形，要在平行四边形的基础上，证明由定义来判定矩形，要在平行四边形的基础上，证明有一个角是有一个角是 90，若在四边形的前提下，则需先证平行四边，若在四边形的前提下，则需先证平行四边形，再证明有一个角是形，再证明有一个角是90，矩形的定义既是矩形的性质也，矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定是矩形的判定.知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 19.32 所示，在矩形所示，在矩形 ABCD 中，对角线中，对角线 AC，BD 相交于点相交于点 O，BOC=120，AB=6.求：求：(1)对角线的长；对角线的长；(2)BC 的长；的长；(3)矩形矩形 ABCD 的面积的面积.例2知知1
7、1练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣矩形的紧扣矩形的“角、对角线的性质角、对角线的性质”进进行计算行计算.解：解：(1)四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，AC=BD，OA=OC=OB=OD.又又 BOC=120，AOB=60，AOB 是等边三角形，是等边三角形，OA=AB=6，BD=AC=2OA=26=12.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知解法提醒解法提醒1.有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.2.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；另外，矩形的对角线与两邻边
8、构成四个直角三角形，矩形中的矩形的对角线与两邻边构成四个直角三角形，矩形中的有关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关有关计算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有关知识知识.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线的性质2知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形相等的等腰三角形.2.此性质与此性质与“直角三角形中直角三角形中30角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的一半的一半”都是都是解决线段倍分关系的重要依据解决线
9、段倍分关系的重要依据，但后者，但后者只在含只在含30角的直角三角形中才成立，而角的直角三角形中才成立，而“直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半”适用于所有直角三角适用于所有直角三角形，形，更具一般性更具一般性.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲说明：说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的
10、模型线等于斜边的一半的模型.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2练练 月考月考成都成都 如图如图 19.3 5，四边形，四边形 ABCD 中，中，BAD=90，DCB=90，E、F 分别是分别是 BD、AC 的中的中点点.(1)请你猜测请你猜测 EF 与与 AC 的位置关系，并给予证明；的位置关系，并给予证明；(2)当当 AC=8，BD=10 时，求时，求 EF 的长的长.例3知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣条件紧扣条件“E，F 分别为分别为 BD，AC 的的中点中点”，结合直角三角形斜边上中线，结合直角三角形斜边上中线的性质求解的性质求解.知知2 2
11、练练感悟新知感悟新知技巧点拨技巧点拨1.若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质中线等于斜边的一半的性质.2.在直角三角形中，遇到斜边的中点常在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边上的作斜边上的中线中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决形的性质解决.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟
12、新知感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点矩形的判定矩形的判定31.判定定理判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.数学语言：数学语言：如图如图 19.3 7，在，在 ABCD 中，中，AC=BD，四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.判定定理判定定理 2 三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.数学语言：数学语言：如图如图 19.3 8，在四边形，在四边形 ABCD 中，中，A=B=C=90，四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 19.3 9，在
13、四边形，在四边形 ABCD 中，中，AD BC，E，F 两点在边两点在边 BC 上，上，AB DE，AF DC，且四，且四边形边形 AEFD 是平行四边形是平行四边形.(1)AD 与与 BC 有何数量关系？有何数量关系？并说明理由并说明理由.(2)当当 AB=DC 时，求证：时，求证：AEFD 是矩形是矩形.例4知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“平行四边形平行四边形”这一前提，从这一前提，从“对角线相等对角线相等”入手入手(或有一直角入手或有一直角入手)进进行证明行证明.知知3 3练练感悟新知感悟新知解：解：BC=3AD.理由如下：理由如下：AD BC，AB DE，A
14、F DC，四边形四边形 ABED 和四边形和四边形 AFCD 都是平行四边形，都是平行四边形，AD=BE，AD=FC.又又四边形四边形 AEFD 是平行四边形，是平行四边形，AD=EF，AD=BE=EF=FC，BC=3AD.(1)AD 与与 BC 有何数量关系？有何数量关系？并说明理由并说明理由.知知3 3练练感悟新知感悟新知证明：证明：四边形四边形 ABED 和四边形和四边形 AFCD 都是都是平行四边形，平行四边形，DE=AB，AF=DC.AB=DC，DE=AF.又又四边形四边形 AEFD 是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形 AEFD 是矩形是矩形.(2)当当 AB=DC 时，求证：
15、时，求证：AEFD 是矩形是矩形.知知3 3练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨证明一个平行四边形为矩形的两种方法：证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一种是证明有一个角是直角，一种是证明有一个角是直角，另一种另一种是证明两条对角是证明两条对角线相等线相等.本例采用的是对角线相等的方法本例采用的是对角线相等的方法.若采用有一个角是直若采用有一个角是直角的方法，可证角的方法，可证 DE=DC，结合，结合EF=FC，利用等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一三线合一”可得可得 DFE=90.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 19.3 10，ABCD 的四个内角的平分线分别的四个内角的平分线分别
16、相交于点相交于点 E，F，G，H.求证：求证：四边形四边形 EFGH 是矩形是矩形.例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：题中证明矩形是建立在四边形基础上题中证明矩形是建立在四边形基础上的，且都与角相关，可从证直角入手的，且都与角相关，可从证直角入手进行判定进行判定.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知同理可得同理可得 AFB=AED=90，GFE=FEH=FGH=90，四边形四边形 EFGH 是矩形是矩形.知知3 3练练感悟新知感悟新知思路点拨思路点拨要判定一个四边形是矩形，要判定一个四边形是矩形，通常通常选用选用“有三个角是直有三个角是直角的四边形是矩形角的四边形是矩形”来证明；来证明；也可以也可以先判定它是平行四边先判定它是平行四边形，再根据平行四边形成为矩形应满足的条件，证明有一形，再根据平行四边形成为矩形应满足的条件，证明有一个角是直角或对角线相等即可个角是直角或对角线相等即可.矩形矩形直角三角形斜直角三角形斜边上的中线性质边上的中线性质边的关系边的关系矩形矩形性质性质判定判定定义定义角的关系角的关系对角线的关系对角线的关系边的性质边的
