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1、1.2 1.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法第第1 1章章 一元二次方程一元二次方程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u直接开平方法直接开平方法u配方法配方法u公式法公式法u一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式u因式分解法因式分解法知知识点点直接开平方法直接开平方法知知1 1讲讲11.定义定义 根据平方根的意义，直接通过求平方根来解根据平方根的意义，直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法一元二次方程的方法叫做直接开平方法.知知1 1讲讲知知1 1讲讲特别警示特别警示直直接接开开平平方方法法利利用用的的是是平平方方根根的的
2、意意义义，所所以以要要注注意意两点：两点：1.不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；2.只只有有非非负负数数才才有有平平方方根根，所所以以直直接接开开平平方方法法的的前前提提是是在在一一元元二二次次方方程程(axh)2k(a、h、k为为常常数数，a0)中中k 0.知知1 1讲讲3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项，将方程变成左边是平方式，且平方式的系数为移项，将方程变成左边是平方式，且平方式的系数为1，右边是非负数的形式，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根这
3、个方程无实数根).(2)开平方，将方程转化为两个一元一次方程开平方，将方程转化为两个一元一次方程.(3)解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根次方程的两个根.知知1 1讲讲知识储备知识储备首首先先将将方方程程化化成成左左边边是是含含有有未未知知数数的的平平方方式式，右右边边是是非非负负数数的的形形式式；其其次次化化平平方方式式的的系系数数为为1；最最后后根据平方根的意义开平方求解根据平方根的意义开平方求解.知知1 1练练例1用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解下列方程：(1)4x21312；(2)4(2x1)2360.解
4、题秘方：解题秘方：紧扣用直接开平方法解一元二次方程紧扣用直接开平方法解一元二次方程的步骤求解的步骤求解.知知1 1练练(1)4x21312；知知1 1练练解：移项，得解：移项，得4(2x1)236.两边都除以两边都除以4，得，得(2x1)29.因为因为(2x1)是是9 的平方根，所以的平方根，所以2x13.则则x12，x21.(2)4(2x1)2360.知知2 2讲讲知知识点点配方法配方法21.定义定义 把一个一元二次方程变形为把一个一元二次方程变形为(xh)2k(h、k 为常数为常数)的形式，当的形式，当k 0 时，就可以用直接开平方时，就可以用直接开平方法求出方程的解法求出方程的解.这种解
5、一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法.知知2 2讲讲知识链接知识链接配配方方的的依依据据是是完完全全平平方方公公式式a22abb2(ab)2，其其实实质质是是将将a看看成成未未知知数数，b看看成成常常数数，则则b2即即是是一一次次项项系数一半的平方系数一半的平方.知知2 2讲讲2.用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项：把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把移项：把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边常数项移到方程的右边.(2)二次项系数化为二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次：方程的左、右两边同时
6、除以二次项系数项系数.(3)配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为把原方程化为(xh)2k(h、k 为常数为常数)的形式的形式.知知2 2讲讲知知2 2讲讲3.拓展拓展 利用配方法还可以求只含一个字母的二次利用配方法还可以求只含一个字母的二次三项式的最值三项式的最值.知知2 2练练用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：(1)x22x50；(2)2x24x10.例2解题秘方：解题秘方：先将方程变形为先将方程变形为(xh)2k(h、k为为常数常数)的形式，再用直接开平方法求的形式，再用直接开平方法求出方程的解出方程的解.知知2 2
7、练练(1)x22x50；知知2 2练练(2)2x24x10.知知2 2练练解法提醒解法提醒用用配配方方法法解解一一元元二二次次方方程程的的实实质质就就是是对对一一元元二二次次方方程程进进行行变变形形，将将其其转转化化为为直直接接开开平平方方所所需需要要的的形形式式，再再利利用用平平方方根根的的意意义义把把一一个个一一元元二二次次方方程程转转化化成成两两个个一一元元一次方程来求解一次方程来求解.知知3 3讲讲知知识点点公式法公式法3知知3 3讲讲2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解一元二次方程的步骤(1)把一元二次方程化成一般形式把一元二次方程化成一般形式.(2)确定公式中确定公式中a，b
8、，c 的值的值.(3)求出求出b24ac 的值的值.(4)若若b24ac 0,则把则把a，b 及及b24ac 的值代入求根公的值代入求根公式求解；若式求解；若b24ac 0，则方程没有实数根，则方程没有实数根.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.公公式式法法是是解解一一元元二二次次方方程程的的通通用用解解法法(也也称称万万能能解解法法)，它它适适用用于于所所有有的的一一元元二二次次方方程程，但但不不一一定定是是最最高高效效的解法的解法.2.只只有有当当方方程程ax2bxc0 中中a 0，b24ac 0时，才能使用求根公式时，才能使用求根公式.知知3 3练练例3解题秘方：解题秘方：根据用公式法解一
9、元二次方程的步骤根据用公式法解一元二次方程的步骤求解即可求解即可.知知3 3练练(1)x(5x3)17x；知知3 3练练知知3 3练练知知4 4讲讲知知识点点一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式41.定义定义 一般地，我们把一般地，我们把b24ac 叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2bxc0(a 0)的的根的判别式根的判别式.知知4 4讲讲知知4 4讲讲教你一招教你一招利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：先先将将一一元元二二次次方方程程化化成成一一般般形形式式ax2bxc0(a 0)，当当方方程程中中的的a，b，c是是
10、常常数数时时，直直接接求求出出b24ac的的值值，确确定定方方程程的的根根的的情情况况；当当方方程程中中的的a，b，c含含有有字字母母时时，求求出出b24ac后后再对含有字母的代数式进行讨论，进而确定该方程的根的情况再对含有字母的代数式进行讨论，进而确定该方程的根的情况.知知4 4练练二模二模郑州郑州 关于关于x 的一元二次方程的一元二次方程x2(k3)x2(k1)0 的根的情况是的根的情况是()A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.有两个实数根有两个实数根 D.没有实数根没有实数根例4知知4 4练练解题秘方：解题秘方：由根的判别式的正负性及
11、是否为由根的判别式的正负性及是否为0判断根的情况判断根的情况.答案：答案：C解：解：a1，b(k3)，c2(k1)，b24ac(k3)2412(k1)(k1)2 0，方程有两个实数根方程有两个实数根.知知5 5讲讲知知识点点因式分解法因式分解法51.定义定义 当一个一元二次方程的一边是当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法的方法叫做因式分解法.知知5 5讲讲2.用因式
12、分解法解一元二次方程的一般步骤用因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)整理方程，使其右边为整理方程，使其右边为0.(2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积将方程左边分解为两个一次因式的乘积.(3)令两个一次因式分别为令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程，得到两个一元一次方程.(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解.知知5 5讲讲知识储备知识储备常用的因式分解的方法：常用的因式分解的方法：1.提公因式法；提公因式法；2.公式法；公式法；3.特特殊殊方方法法：形形如如x2(ab)xab，可可将将原原多多项式分解为项式分解为(
13、xa)(xb)的形式的形式.知知5 5练练用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：(1)(x5)(x6)x5；(2)3(x2)2x24；(3)(3m2)210(3m2)250例5解题秘方：解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方按方程的特点选择恰当的因式分解的方法求解法求解.知知5 5练练解：原方程可变形为解：原方程可变形为(x5)(x6)(x5)0，(x5)(x6)10.即即(x5)(x7)0.x5=0 或或x70.所以所以x15，x27.(1)(x5)(x6)x5；知知5 5练练解：原方程可变形为解：原方程可变形为3(x2)2(x2)(x2)0，(x2)3(x2)(x2)0.即
14、即(x2)(2x8)0.x20 或或2x80.所以所以x12，x24.(2)3(x2)2x24；知知5 5练练解：令解：令a3m2，则原方程可变形为则原方程可变形为a210a250.(a5)20.所以所以a1a25.将将a1a25 代入代入a3m2 中，解得中，解得m1m21.(3)(3m2)210(3m2)250知知5 5练练解法提醒解法提醒可可以以利利用用整整体体思思想想和和完完全全平平方方公公式式解解决决问问题题，把把(3m2)看看作作一一个个整整体体，如如令令a3m2，解解关关于于a 的的方方程程a210a250.然然后后直直接接利利用用完完全全平平方方公公式式进进行行因因式分解得到式分解得到(a5)20.求得该方程的解再求得该方程的解再换元换元即可即可.一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方一元二次方程的解法程的解法直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法公式法公式法根的判别式根的判别式配方法配方法
