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1、27.1 27.1 圆的认识圆的认识第第2727章章 圆圆27.1.2 27.1.2 圆的对称性圆的对称性逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升课时讲解1课时流程2u圆的旋转圆的旋转不变性不变性u弧、弦、圆心角之间关系定理的弧、弦、圆心角之间关系定理的推论推论u圆的轴对称圆的轴对称性性u垂径定理的推论垂径定理的推论知知识点点圆的旋转不变性圆的旋转不变性知知1 1讲讲11.圆圆的旋转不变性的旋转不变性圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，圆心圆心就是它的就是它的对称中心对称中心.圆具圆具有有旋转不变性旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图
2、形都与图形都与原图形原图形重合重合.知知1 1讲讲2.弧弧、弦、圆心角之间的关系定理：、弦、圆心角之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等的弧相等，所，所对的弦相等对的弦相等.实际上，在等圆中，上述关实际上，在等圆中，上述关系定理也同样成立系定理也同样成立.知知1 1讲讲警示误区警示误区不不能能忽忽略略在在同同一一个个圆圆中中这这个个前前提提，如如果果丢丢掉掉了了这这个个前前提提，即即使使圆圆心心角角相相等等，所所对对的的弧弧、弦弦也也不不一一定定相相等等.如如图图27.1-8，两两个个圆圆的的圆圆心心相相同同，AB与与AB对
3、对应应的的圆圆心心角角相等，但相等，但ABAB，AB A B.知知1 1讲讲3.示例示例：弧、弦、圆心角的关系：弧、弦、圆心角的关系.如图如图27.1-7，AOB=AOB AB=AB，AB=AB.知知1 1练练例1如图如图27.1-9，AB，CD 是是 O 的两条直径，弦的两条直径，弦CE AB，求证：，求证：BC=AE.知知1 1练练解题秘方：解题秘方：构造圆心角，利用构造圆心角，利用“相等的圆心角所相等的圆心角所对的弧相等对的弧相等”证明证明.知知1 1练练证明：如图证明：如图27.1-9，连结，连结OE.OE=OC，C=E.CE AB，C=BOC，E=AOE.BOC=AOE.BC=AE.
4、知知1 1练练1-1.如如图，点图，点C 是是 O上上的点，的点，CD 半径半径OA于于D，CE 半径半径OB于于E，且，且CD=CE，求证，求证：AC=BC.知知2 2讲讲知知识点点弧、弦、圆心角之间关系定理的推论弧、弦、圆心角之间关系定理的推论21.推论推论(1)在在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角圆心角相等，所对的弦相等相等，所对的弦相等.(2)在在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角圆心角相等，所对的弧相等相等，所对的弧相等.知知2 2讲讲2.弦和弦心弦和弦心距距(圆心圆心到弦的到弦的距离距
5、离)之间之间的关系的关系在同一个圆中，如果两条弦的弦心距相等，那在同一个圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等么这两条弦相等.知知2 2讲讲拓宽视野拓宽视野在同一个圆中在同一个圆中，四，四个量之间的关系个量之间的关系可表示可表示为为圆心角圆心角相等相等所对的所对的弧相等弧相等所对的所对的弦相等弦相等对应的弦对应的弦心距相等心距相等知知2 2练练如图如图27.1-10，在，在 O 中，中，AB=CD，则在，则在 AB=CD；AC=BD；AOC=BOD；AC=BD中，中，正确正确的个数是的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4例2解题秘方：解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系紧扣弧、弦、
6、圆心角之间关系定理定理的推论判断的推论判断.知知2 2练练答案：答案：D解：解：AB=CD，AB=CD，故，故正确正确.AB=CD，AC=BD.AC=BD，AOC=BOD，故，故正确正确.知知2 2练练2-1.如如图，图，已知已知AB，CD 是是 O 的两条弦的两条弦，OE，OF 分别分别为为AB，CD 的弦心距，的弦心距，如果如果AB=CD，则可得出则可得出结论：结论：_.(至少至少填写两填写两个个)OEOF，CODAOB(答案不唯一答案不唯一)知知3 3讲讲知知识点点圆的轴对称性圆的轴对称性31.圆圆是轴对称图形，它的任意一条是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是都是它
7、它的的对称轴对称轴.(1)圆圆的对称轴有无数条的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在的直线圆的对称轴是直径所在的直线”或说成或说成“圆的圆的对称对称轴轴是经过圆心的直线是经过圆心的直线”.2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所弦所对的对的两条弧两条弧.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.“垂垂直直于于弦弦的的直直径径”中中的的“直直径径”，还还可可以以是是垂垂直直于于弦弦的的半半径径或或过过圆圆心心垂垂直直于于弦弦的的直直线线.其其实实质质是是：过过圆圆心心且且垂直于弦的垂直于弦的线段线段、直线均可、直线均可.2.“两条弧
8、两条弧”是指弦所是指弦所对的对的劣弧和优弧，劣弧和优弧，不要漏掉不要漏掉了优弧了优弧.知知3 3讲讲可用几何语言表述为如图可用几何语言表述为如图27.1-11，CD 是直径是直径CD ABAE=BE，AD=BD，AC=BC.知知3 3练练例3知知3 3练练解题秘方：解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题构造垂径定理的基本图形解题.把半径、把半径、圆心圆心到弦到弦的垂线段、弦的一半构建在的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键一个直角三角形里是解题的关键.知知3 3练练答案：答案：B利用勾股定理列方程利用勾股定理列方程知知3 3练练C知知3 3练练如图如图27.1-13，在，在 O 中
9、，中，AB 为为 O 的弦，的弦，C，D 是直是直线线AB 上的两点，且上的两点，且AC=BD.求证：求证：OCD 为等腰三角形为等腰三角形.例4知知3 3练练解题秘方：解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段构建垂径定理的基本图形结合线段垂垂直平分线的直平分线的性质证明性质证明.作垂直于弦的作垂直于弦的半径半径(或直径或直径)或或连半径，是常用连半径，是常用的作的作辅助线的方法辅助线的方法.知知3 3练练证明：过点证明：过点O 作作OM AB，垂足为，垂足为M，如图如图27.1-13.OM AB，AM=BM.AC=BD，CM=DM.又又 OM CD，OC=OD.OCD 为等腰三角形为等腰三角
10、形.知知3 3练练4-1.如如图，已知在以图，已知在以点点O 为圆心的两个为圆心的两个同心圆中同心圆中，大圆的，大圆的弦弦AB 交交小圆小圆于点于点C，D 若若大圆的大圆的半径半径R=10，小圆小圆的的半径半径r=8，且圆心，且圆心O 到直线到直线AB 的距离为的距离为6，求求AC 的长的长.知知4 4讲讲知知识点点垂径定理的推论垂径定理的推论41.推论：推论：(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的的直径垂直于这条弦，直径垂直于这条弦，并且并且平分平分这条弦所对的两条弧；这条弦所对的两条弧；(2)平分平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.2.示例：示例：(1)如如
11、图图27.1-14，CD 是是 O 的直径，的直径，AB 是是弦弦(非非直径直径)，AB 与与CD 相交于点相交于点E，且，且AE=BE，那么，那么CD 垂直垂直于于AB，并且，并且AC=CB，AD=DB.知知4 4讲讲(2)如如图图27.1-14，CD 是是 O 的直径，的直径，AB与与CD 相交于点相交于点E，且且AD=BD，那么，那么CD 垂直于垂直于AB，并且，并且AE=BE.知知4 4讲讲可用几何语言表述为可用几何语言表述为知知4 4讲讲(1)CD 是直径是直径AE=BEAB 不是直径不是直径CD AB，AD=BD，AC=BC.(2)CD 是直径是直径AD=BDCD AB，AE=BE
12、.知知4 4讲讲拓宽视野拓宽视野对对于于圆圆中中的的一一条条直直线线，如如果果具具备备下下列列五五个个条条件件中中的的任任意意两个两个，那么一定具备，那么一定具备其他其他三个：三个：(1)过过圆心圆心；(2)垂直垂直于弦；于弦；(3)平分弦平分弦(非直径非直径)；(4)平分平分弦所弦所对的对的劣弧；劣弧；(5)平分平分弦所弦所对的对的优弧优弧.简记为简记为“知二推三知二推三”知知4 4练练如图如图27.1-15，AB，CD 是是 O 的弦，的弦，M，N 分别为分别为AB，CD 的中点，且的中点，且 AMN=CNM.求证：求证：AB=CD.例5知知4 4练练解题秘方：解题秘方：紧扣弦的中点作符合
13、垂径定理推论的紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形基本图形，再，再结合全等三角形的判定结合全等三角形的判定和性质进行证明和性质进行证明.证明：如图证明：如图27.1-15，连结，连结OM，ON，OA，OC.O 为圆心，且为圆心，且M，N 分别为分别为AB，CD 的中点，的中点，AB=2AM，CD=2CN，OM AB，ON CD.OMA=ONC=90.AMN=CNM，OMN=ONM.OM=ON.又又 OA=OC，Rt OAM Rt OCN.AM=CN.AB=CD.知知4 4练练知知4 4练练知知4 4练练如图如图27.1-16，要把残破的圆片复制完整，要把残破的圆片复制完整.已知弧上已知弧上
14、的的三三点点A，B，C，用尺规作图找出，用尺规作图找出ABC所在所在圆的圆心圆的圆心(保留保留作图作图痕迹痕迹).例6知知4 4练练解题秘方：解题秘方：紧紧扣垂径定理的推论，利用扣垂径定理的推论，利用垂直垂直平分弦的直线平分弦的直线经过圆心来找圆心经过圆心来找圆心.解解：如如图图27.1-16，连连结结AB，BC，分分别别作作AB，BC的的垂垂直直平平分分线线，两两条条垂垂直直平平分分线线的交点即为所求的交点即为所求圆的圆的圆心圆心.知知4 4练练6-1.一块一块圆形宣传圆形宣传标志牌标志牌如图所示，点如图所示，点A，B，C 在在 O 上，上，CD 垂直平分垂直平分AB 于点于点D现测现测得得
15、AB=8 dm，DC=2 dm，则，则圆形标志牌的圆形标志牌的半径为半径为 _.5 dm知知4 4练练如图如图27.1-17，一条公路的转弯处是一段，一条公路的转弯处是一段圆弧圆弧(AB)，点点O 是这段弧所在圆的圆心，点是这段弧所在圆的圆心，点C 是是AB的中点，半的中点，半径径OC 与与AB相交于点相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求，求这段弯路所在圆的半径这段弯路所在圆的半径.例7知知4 4练练解题秘方：解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且平分弧，且经过圆心经过圆心”推出推出“垂直平分弦垂直平分弦”，结合勾，结合勾股定理求出半径的长股定理求出半径的长.知知4 4练练知知4 4练练7-1.半圆形半圆形纸片的纸片的半径半径为为2 cm，用如图所，用如图所示的示的方法将纸片方法将纸片对折，对折，使对折使对折后半圆弧的中点后半圆弧的中点M与与圆心圆心O 重合，则折重合，则折痕痕CD 的长的长为为_cm.圆的对称性圆的对称性圆的对称性圆的对称性轴对称性轴对称性垂径定理及其推论垂径定理及其推论旋转旋转不变性不变性圆心角、弧、弦的关系圆心角、弧、弦的关系知知识源自点滴源自点滴2023年
