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1、1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系用向量解决：立体几何中的点线面位置关系！用向量解决：立体几何中的点线面位置关系！一、两直线的关系：一、两直线的关系：1、位置关系：、位置关系：相交、平行、异面相交、平行、异面2、主要问题：、主要问题：（1）垂直的判定）垂直的判定;(2)平行的判定平行的判定;(3)两直线的夹角两直线的夹角.二、直线与平面的关系：二、直线与平面的关系：1、位置关系：、位置关系：在平面内，相交、平行在平面内，相交、平行2、主要问题：、主要问题：(1)垂直的判定垂直的判定;(2)平行的判定平行的判定;(3)直线与平面的夹角直线与平面的夹角.三、两平面的关系：三、两平面的关
2、系：1、位置关系：、位置关系：相交、平行相交、平行2、主要问题：、主要问题：(1)垂直的判定垂直的判定;(2)平行的判定平行的判定;(3)平面与平面的夹角平面与平面的夹角.问题问题1：在空间直角坐标系：在空间直角坐标系O-xyz中，若中，若 a=(1，2，3)，则则 a 的终点的坐标为的终点的坐标为(1，2，3)吗？吗？问题问题2：对于一个大小及方向都确定的向量，怎样才：对于一个大小及方向都确定的向量，怎样才 能够确定它的终点的位置？能够确定它的终点的位置？OAP一、空间中确定点的位置的方法：一、空间中确定点的位置的方法：二、空间中确定直线的位置的方法：二、空间中确定直线的位置的方法：问题问题
3、1：在空间中给一个定点：在空间中给一个定点A和一个定方向和一个定方向(比如比如 a)，能确定一条直线的位置吗？能确定一条直线的位置吗？AB问题问题2：点：点A与向量与向量 a 能否确定直线能否确定直线AB上的任意上的任意 一点一点P的位置？的位置？存在实数存在实数t，使得，使得空间直线的空间直线的向量表示式向量表示式POa a三、空间中确定平面的位置的方法：三、空间中确定平面的位置的方法：1、由、由(平面内的平面内的)两条相交直线确定一个平面：两条相交直线确定一个平面：如图，设两直线相交于点如图，设两直线相交于点O，a、b分别是它们的分别是它们的方向向量，方向向量，P是平面内的任意一点是平面内
4、的任意一点，则，则P存在有序实数对存在有序实数对(x，y)，使得，使得 故平面内的每一点都可由一点故平面内的每一点都可由一点O及不共线的两个及不共线的两个向量来确定向量来确定我们把我们把式称为空间平面式称为空间平面ABC的向量表的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定间一点及两个不共线向量唯一确定三、空间中确定平面的位置的方法：三、空间中确定平面的位置的方法：2、由平面的法向量表示空间中平面的位置：、由平面的法向量表示空间中平面的位置：法向量：法向量：如果表示向量如果表示向量a的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面
5、a a，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面a a，记作，记作aa a，如果，如果aa a，那么向量那么向量a叫做叫做平面平面a a的的法向量法向量a ala给定一点给定一点A和一个向量和一个向量a，那么，过点，那么，过点A以向量以向量a为法向量的平面是完全确定的。为法向量的平面是完全确定的。a alAa问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？过定点过定点A作与已知直线垂直的平面有作与已知直线垂直的平面有 个。个。几点注意：几点注意：1、法向量一定是非、法向量一定是非0向量向量;2、一个平面的所有一个平面的所有 法向量都互相平行法向量都互相平行;3、向量、向量
6、n是平面的法向量是平面的法向量,向量向量m是与平面平行或是与平面平行或在平面内，则有在平面内，则有b拓展：若求的是单位法向量呢？拓展：若求的是单位法向量呢？拓展：若求的是单位法向量呢？拓展：若求的是单位法向量呢？2空间中直线、平面的平行空间中直线、平面的平行思考思考由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？例例2 证明证明“平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个若一个平面内的两
7、条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行平面平行3空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直思考思考类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？平面的法向量之间有什么关系？一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法
8、向量垂直平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直例例5 证明证明“平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另若一个平面过另一个一个平面的垂线，则这两个平面垂直平面的垂线，则这两个平面垂直1、平行关系的判定：、平行关系的判定：（1）线线平行：）线线平行：（2）线面平行：）线面平行：（3）面面平行：）面面平行：2、垂直关系的判定：、垂直关系的判定：（1）线线垂直：）线线垂直：（2）线面垂直：）线面垂直：（3）面面垂直：）面面垂直：练习：练习：1、设、设 分别是直线分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列的方向向量，根据下列条件，判断条件，判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行练习：练习：2、设、设 分别是平面分别是平面a a，b b 的法向量，根据下列的法向量，根据下列条件，判断条件，判断a a、b b 的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交补充例补充例2.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为4,CG平面平面ABCD,CG=2,E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点.(1)求平面求平面GEF的一个法向量的一个法向量;(2)证明证明:BD/平面平面GEF.DABCGEFxyz(3)证明证明:EF平面平面GAC.
