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1、2022-2023学年福建省南平市高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1若，则复数（）ABCD【答案】B【分析】直接化简可求得结果【详解】由，得，故选：B2甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生15之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为（）A0.5B0.6C0.65D0.68【答案】C【分析】根据题意
2、找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解【详解】由题意得甲获胜的情况有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为，故选：C3在中，则（）ABCD【答案】D【分析】根据向量的线性运算求解即可【详解】，故选：D4我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5
3、倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（）A倍B1倍C倍D倍【答案】A【分析】由题意可得，再根据结合两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意可得，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选：A.5掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）A互斥B互为对立C相互独立D相等【答案】C【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C
4、.6在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则（）A1BCD【答案】B【分析】由正弦定理结合角度转化可得的大小，再由余弦定理解出边的值.【详解】因为，由正弦定理得所以，又，所以则，即，则由余弦定理可得，所以.故选：B.7已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是ABCD【答案】D【详解】试题分析：设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是【解析】1向量的运算；2二次函数8如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为，B是母线SA上一点，且.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下
5、坡路段长为（）AB3kmC3.6kmD【答案】C【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值【详解】由题意，半径为，山高为，则母线，底面圆周长，所以展开图的圆心角，如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段，则，即，得下坡路段长度为故选：C.二、多选题9已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（）ABC的共轭复数为D在复平面内对应的点在第三象限【答案】BD【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可【详解】，对于A，所以A错误，对于B，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误
6、，对于D，因为，所以在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确，故选：BD10某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（）A小组A打分分值的众数为47B小组B打分分值第90百分位数为75C小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差D小组B打分分值的极差为39【答案】ABD【分析】由众数的定义判断A；由百分位数的定义判断B；计算方差判断C；求出极差判断D.【详解】由折线图知，小组A打分分值分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，故A正确；小组B打分分值
7、分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，故B正确；小组A打分分值的均值，小组A打分分值的方差，小组B打分分值的均值，小组B打分分值的方差，故C错误；小组B打分分值的极差为753639，故D正确故选：ABD11若函数，则下列说法正确的是（）A的最小正周期为B在单调递增C的图象关于直线对称D将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数【答案】BCD【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质分析判断A、B、C，对于D：根据图象变换可得平移后的解析式为，进而可得结果.【详解】因为.对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：因为，
8、则，且在上单调递增，所以在单调递增，故B正确；对于选项C：因为为最大值，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：将的图象向右平移个单位长度，得到，且为偶函数，故D正确；故选：BCD.12已知三棱锥，是边长为2的正三角形，为中点.下列结论正确的是（）A异面直线CE与AB所成角的余弦值为B直线CE与平面ABC所成角的正弦值为C二面角的余弦值为D三棱锥外接球的表面积为【答案】BD【分析】根据异面直线所成角的定义结合余弦定理求解，即可判断A；根据线面夹角的定义，作平面于，利用等体积转化求解长，从而可求得夹角正弦值，即可判断B；根据二面角的平面角的定义，结合三角形的几何性质，可求得二面角的余弦值，
9、即可判断C；把三棱锥还原为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球即可求解判断D【详解】三棱锥，是边长为2的正三角形，所以，则，同理对于A，如图，取中点，连接因为为中点，位中点，所以，所以为异面直线CE与AB所成角或其补角，因为，所以，同理，在中，所以异面直线CE与AB所成角的余弦值为，故A不正确；对于B，如图，连接，作平面于，则直线CE与平面ABC所成角为因为，所以，则，所以，则直线CE与平面ABC所成角的正弦值为，故B正确；对于C，如图，取中点为，连接因为，为中点，所以且，则，所以，则为二面角的平面角，所以，故C不正确；对于D，把三棱锥还原为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球设其
10、半径为，由正方体的外接球满足，所以所以球的表面积为故D正确故选：BD.三、填空题13已知平面向量，且.写出满足条件的一个非零向量 .【答案】（答案不唯一，形如）【分析】设出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示即可作答.【详解】设，而向量，且，因此，即，又，则令，所以，取，得.故答案为：14已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为 .【答案】/【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果【详解】因为正四棱台的侧面等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，上下底底面面积分
11、别为，所以该四棱台的表面积为故答案为：15我省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2.今年高一小王与小李都准备选历史与地理，若他俩再从其他三科中任选一科，则他们选科相同的概率为 .【答案】【分析】依题意列出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可得解.【详解】依题意，今年高一的小王与小李都准备选历史与地理，则他俩再从其他三科中任选一科的基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他们选课相同包含的基本事件有：（政，政），
12、（化，化），（生，生），共有件，所以他们选课相同的概率故答案为：.16在中，点D在边BC上，当取得最小值时， .【答案】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，在中，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.四、解答题17已知向量，且.(1)求在上的投影向量；(2)求与的夹角.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用投影向量的概念求解即可；（2）先利用向量的数量积运算求得，再利用求解即可.【详解】（1）因为向量，且，所以在上的投影向量为.（2）因为向量，且，所以，所以，记与的夹角为，则，又，所以与的夹角为.18如图，在四棱锥中，底面ABC
13、D是梯形，F为的中点，且，.(1)证明：平面PCD；(2)证明：平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PD中点E，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据三角形性质，可证，又，可得，根据线面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示，因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD（2）因为，F为PA中点，所以，又，则，因为，平面PCD，所以平面PCD.19全民国家安全教育日是为了增强全民国家安
14、全意识，维护国家安全而设立的节日.2024年4月15日是我国第八个全民国家安全教育日，某校组织国家安全知识竞赛，共有20道题，三位同学独立竞答，甲同学能答对其中的12道，乙同学能答对其中的8道，丙同学能答对其中的道，现从中任选一道题，假设每道题被选中的可能性相等.(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，列式计算作答.（2）利用对立事件、相互独立事件的概率，列出方程求解作答.【详解】（1）设 “任选一道题甲答对”， “任选一道题乙答对”，则， ，“甲，乙两位同学恰有一个人答对” 的事件为，且与互斥
