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1、高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分 120分钟完卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）A B. C. D. 4. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己计数方法十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍下图是利用算筹表示数19的一种方法例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用19这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是
2、（ ） A. B. C. D. 5. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（ ）A. B. C. 2D. 36. 如图所示，正方形的边长为2，点，分别是边，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3C. D. 487. 椭圆的左右焦点为，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 8. 已知偶函数满足，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9. 已知函数，则（ ）A. B. 的最小正周期为C. 在上单调递
3、减D. 在上单调递增10. 某市为响应教育部切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校2000103乙校300082记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ）A. B. C. D. 11. 如图，平行六面体中，与交于点O，则下列说法正确的有（ ） A. 平面平面B. 若，则平行六面体的体积C. D. 若，则12. 已知函数，下列选项正确的是（ ）A. 有最大值B C. 若时，恒成立，则D. 设为两个不相等的正数，且，则三、填空题（共4小题，
4、每小题5分，共20分）13. 展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是_14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为_.15. 已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为_.16. 已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转
5、与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为_四、解答题（共6小题，共70分）17. 在中，角所对的边分别为，（1）求角；（2）若的面积为，且，求的周长18. 已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和.19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间
6、的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望附参考数据：若，则；20. 如图所示，三棱锥中，已知平面，平面平面 （1）证明：平面；（2）若，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由21. 在平面直角坐标系中，已知点、，内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于
7、A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.22. 已知函数（1）当时，（I）求处的切线方程；（II）判断的单调性，并给出证明；（2）若恒成立，求的取值范围高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分 120分钟完卷）1. B2. D3. A4. A5. C6. A7. C9. ABC10. BC11. ABD12. ACD13. 11214. 15. 16. 17. （1），由正弦定理得，即，即，（2），又，所以，即（负值舍去），又，所以的周长为.18. （1）因为，即，则，又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知
8、，所以.所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.19. （1）根据频率分布直方图得：（2）由题意知，即，所以（3）由题意可知，和的频率之比为：，故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为，故的分布列为：0123所以.20. （1）过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面 （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量为，即取，所以为平面的一个法向量，因为在线段上（不含端点），所以可设，
9、所以，设平面的一个法向量为，即，取，所以为平面的一个法向量，又，由已知可得解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点 21. （1）因为点、，的内切圆与直线相切于点，所以，因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，设点的轨迹C的方程为，焦距为，所以，所以，所以点的轨迹方程C为（2）由题意，直线的斜率互为相反数，记，则，设，则直线，.联立直线和双曲线方程，整理得.该方程有两个不等实根，则根据韦达定理可得，同理可得，.又因为，.，.则，同理可得即进而可得相似于，即，也即A，B，Q，P四点共圆，可得从而得.因此22. （1）当时，可得.（I），所以在处的切线方程为，即.（II），设，则单调递增，所以，即，所以当时，单调递增.（2）设，由题意恒成立.当时，不恒成立，不合题意；当时，设，设，单调递增，由零点存在定理得，使得.在上，即，所以在上单调递减，不恒成立，不合题意；当时， ，则，当时，即，则，所以当时，单调递增.可得：，即，所以综上，的取值范围为
