《【高考数学精讲精练】第15讲 周期性、单调性、奇偶性、对称性9大核心考点的灵活运用（精讲精练）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考数学精讲精练】第15讲 周期性、单调性、奇偶性、对称性9大核心考点的灵活运用（精讲精练）（解析版）（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、周期性、单调性、奇偶性、对称性9大核心考点的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知奇函数核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】
2、1（2022全国统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（）ABC0D1【答案】A【解析】方法一：赋值加性质因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A方法二：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，且，所以，由于22除以6余4，所以故选：A【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2（2022全国统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，则（）ABCD
3、【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，因为，所以，即，所以因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以所以故选：D3（多选题）（2022全国统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD【答案】BC【解析】方法一：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，所以关于对称，由求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则
4、函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误故选：BC方法二：【最优解】特殊值，构造函数法由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC故选：BC方法三：因为，均为偶函数，所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误故选：BC【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解
5、4（2022全国统考高考真题）若是奇函数，则_，_【答案】 ； 【解析】方法一：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，解得，由得，故答案为：；方法二：函数的奇偶性求参函数为奇函数 方法三：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称由可得，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，即，在定义域内满足，符合题意故答案为：；【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；定号：判断差的正负或商与的大小关系；
6、得出结论（2）函数单调性的判断方法定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结论”进行判断图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间（3）记住几条常用的结论：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（2）奇偶函数的图象特征函数是偶函数函数的图象关于轴对
7、称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记，则（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇（8）常见奇偶性函数模型奇函数：函数或函数函数函数或函数函数或函数注意：关于式，可
8、以写成函数或函数偶函数：函数函数函数类型的一切函数常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则（2）若函数关于点对称，则（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1（2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】显然当时，为单调减函数，当时，则对称轴为，若
9、是上减函数，则 解得，故选：A例2（2023全国高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】假设，所以，所以，所以为奇函数，而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，由求导得因为，当且仅当即，取等号，所以所以在R上单调递增，因为得所以，解得，故选：B例3（2023全国高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（）ABCD【答案】B【解析】由，可得，所以，或，（舍去），或，即，故A错误；又，故，对于函数，则，函数单调递增，故D错误；，令，则，函数单调递增，即，即，故B正确；，函数单调递增，故函数单调递增，即，故C错误故选：B核心考点二：函
10、数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】为偶函数，即函数关于对称，又函数在上单调递增，函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或故选：B例5（2023全国高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，当时，所以在上为增函数，因为是定义在R上的奇函数，所以在R上为增函数，因为，所以，所以，所以不等式可化为，所以，解得或，所以不等式的解集为，故选：C例6（2023全国高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，则使不等式成立的实数的
11、取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】当时，所以在上单调递增，且，不等式即为又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，所以，解得综上可知，实数的取值范围为，故选：A例7（2023全国高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以，又，所以不等式，可化为，即，又因为在上单调递增，所以在R上单调递增，所以，解得故选：D例8（2023春广西高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（）A1BCD1【答案】A【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则故选：A例9（2023春甘肃兰州高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=，则满足恒成立
12、的实数a的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以是上的奇函数，由 ，所以是上的增函数，所以等价于：即，所以，令，则问题转化为：，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A核心考点三：已知奇函数+M【典型例题】例10（2022重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），则_【答案】-2014【解析】，因为为奇函数，所以，其中，所以，解得：故答案为：-2014例11（2022河南西平县高级中学模拟预测（理）已知函数，且，则（）A2B3C2D3【答案】D【解析】设，因为，所以为奇函数，因为，所以
13、，则故选：D例12（2022福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A4B8C12D16【答案】B【解析】由题设，且，则，为奇函数，令，即是奇函数，在上的最小、最大值的和为0，即，故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13（2022全国高三专题练习）若满足，满足，则等于（）A2B3C4D5【答案】D【解析】由题意，故有故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称即点（x1，5x1）和点（x2，5x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即，求得x1+x2=5，故选：D例14（2021春高一单元测试）设函数，则不等式的解集为（）A（0，2
