《【高考数学精讲精练】第8讲 立体几何解答题常考9大核心考点全归类（精讲精练）（原卷及答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考数学精讲精练】第8讲 立体几何解答题常考9大核心考点全归类（精讲精练）（原卷及答案）（133页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何解答题常考9大核心考点全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义
2、【真题回归】1（2022天津统考高考真题）直三棱柱中，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的余弦值2（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，E为的中点(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值3（2022浙江统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，二面角的平面角为设M，N分别为的中点(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值4（2022全国统考高考真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值5（2022全国统考高考真题）如图，四面体中
3、，E为AC的中点(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积6（2022全国统考高考真题）在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值7（2022北京统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点(1)求证：平面；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分8（2022全国统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【方法技巧与
4、总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的（3）计算：在证明的基础上计算得出结果简称：一作、二证、三算2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是
5、斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为904、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角【核心考点】核心
6、考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系【典型例题】例1（2022陕西安康统考一模）如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，平分，D是上一点，且平面平面.(1)求证：；(2)求二面角的正弦值.例2（2022安徽校联考二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面与平面夹角的余弦值.例3（2022山东东营胜利一中校考模拟预测）如图，分别是圆台上下底面的直径，且，点是下底面圆周上一点，圆台的高为.(1)证明：
7、不存在点使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.例4（2022河北统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断【典型例题】例5（2022上海虹口统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以
8、AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由例6（2022春山东高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，.(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.例7（2022春黑龙江绥化高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PBPC，如图2所示
9、F是棱PB上的一点(1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；(2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由例8（2022广东韶关统考一模）已知矩形中，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.(1)证明：；(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质【典型例题】例9（2022春江苏南通高三期中）已知梯形中，分别是，上的点，是的
10、中点，沿将梯形翻折，使平面平面(1)当时求证：；求二面角的余弦值；(2)三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由例10（2022春辽宁高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，E是AB的中点将BCE沿CE翻折至PCE，使得，如图2所示(1)证明：；(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值例11（2022春湖南长沙高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形PABCD中，是边长为2的等边三角形，AB2BC2，将沿AD翻折成四棱锥PABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且(1)证明：；(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时
11、，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值例12（2022四川雅安统考模拟预测）如图，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120（如图）(1)在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值核心考点四：立体几何作图问题【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线【典型例题】例13（2022贵州校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是菱形，且.(1)试在平面内过
12、点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求点到平面的距离.例14（2022秋河北石家庄高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离例15（2022全国高三专题练习）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，且，分别为，的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16（2022全国高三专题练习）四
13、棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，点分别是线段上的中点，在上.且.（）求证：平面；（）求直线与平面的成角的正弦值；（）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题【规律方法】利用传统方法解决【典型例题】例17如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中心若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值例18如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是，的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值例19（2022春福建南平高三校考期中）在三棱柱中，平面，、分别是棱、的中点.(1)设为的中点，求证：平面；(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题【规律方法】构造垂直的全等关系【典型例题】例20如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：，且平面平面；（2）设为的中心若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值例21如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是，的中点（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系【典型例题】例22如图：长为
