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1、【高考数学精讲精练】第2讲 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题9大核心考点【命题规律】 解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型核心考点二：倍角定理核心考点三：角平分线模型核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题核心考点六：四边形定值和最值核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1（2022全国高考真题（理）已知中，点D在边BC上，
2、当取得最小值时，_2（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知（1）求的面积；（2）若，求b3（2022全国高考真题（文）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）若，求C；（2）证明：4（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若，求B；（2）求的最小值【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素2、与三角形面积或周长有
3、关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其
4、最值6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若在边上，且满足，则延长至，使，连接，易知，且，【典型例题】例1（2022福建厦门双十中学高三期中）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（）ABCD例2（2021全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（
5、1）证明：；（2）若，求.例3（2022湖南宁乡一中高三期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c1，(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度例4（2022广西柳州高三阶段（文）已知，将的图象向右平移单位后，得到的图象，且的图象关于对称(1)求；(2)若的角所对的边依次为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度例5（2022全国高三专题）在中，D为上靠近点C的三等分点，且记的面积为(1)若，求；(2)求的取值范围例6（2022全国高三专题）已知，分别是内角，所对的边，且满足，若为边上靠近的三等分
6、点，求：（1）求的值；（2）求的最大值例7（2022全国高三专题）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=8，点M，N是BC边上的两个三等分点，_，求AM的长和外接圆半径.例8（2022湖北高三期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，(1)求角B；(2)若边上的点D满足，求的面积核心考点二：倍角定理【规律方法】，这样的三角形称为“倍角三角形”推论1：推论2：【典型例题】例9（2022广西灵山县新洲中学高三阶段（文）在锐角中，角所对的边为，且.(1)证明:(2)若，求的取值范围.例10（2022黑龙江哈师大附中高
7、三阶段）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，是的面积,(1)证明：A2C；(2)若a2，且为锐角三角形，求b2c的取值范围例11（2022福建龙岩高三期中）在中，角，所对的边分别为，已知(1)证明：；(2)若是钝角，求面积的取值范围例12（2022江苏宝应中学高三阶段）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)求的最小值.例13（2022江苏连云港高三期中）在中，AB4，AC3(1)若，求的面积；(2)若A2B，求BC的长例14（2022浙江绍兴鲁迅中学高三阶段）在锐角中，内角的对边分别为，且满足.(1)证明：.(2)求的取值范围.核心考点三：角平分线
8、模型【规律方法】角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮）斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积【典型例题】例15（2022湖北武汉市武钢三中高三阶段）中，.(1)若，求的长度；(2)若为角平分线，且，求的面积.例16（2022黑龙江齐齐哈尔高三期中）在锐角中，内角的对边分别为，且满足(1)求角C的大小；(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.例17（2022江苏泰州高三期中）在；两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， (1)求角C的大小；(2)若ACB的角平分线CD交线段AB于点D
9、，且，求ABC的面积例18（2022辽宁东北育才学校高三阶段）已知向量，函数(1)求函数的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a4b的最小值例19（2022河北高三阶段）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.(1)若点D为的中点且，求的余弦值；(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.例20（2022全国高三专题）在中，内角的对边分别为，且_在；这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答(1)求角的大小；(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值例21（2022
10、贵州贵阳高三开学考试（理）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 若， 则面积的最小值是（）A16BC64D核心考点四：隐圆问题【规律方法】若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上【典型例题】例22（2022全国高三专题（文）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹已知在中，角、所对的边分别为、，且，则面积的最大值为（）ABCD例23（2022全国高三专题）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距
11、离比值为定值的动点的轨迹.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为（）ABCD例24（2022全国高三专题）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，则当的面积最大时，的长为_.例25（2022全国高三专题）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.
12、已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为_例26（2022全国高三专题）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，则当的面积最大时，AC边上的高为_.核心考点五：正切比值与和差问题【规律方法】定理1：定理2：定理3：（正切恒等式）中，【典型例题】例27（2022江苏南通高三期中）在中，点D在边BC上，且，记.(1)当，求；(2)若，求的值.例28（2022河南焦作高三期中（文）在锐角
13、中，分别为角所对的边，且的面积(1)若，求；(2)求的最大值例29（2022江西芦溪中学高三阶段（理）已知在中，角，的对边分别为，且，(1)若，求边的值；(2)若，求的面积例30（2022江西赣州高三期中（理）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求角B的大小；(2)若，求的值例31（2022湖南高三阶段）在中，内角A，B，C满足且(1)求证：；(2)求的最小值例32（2022全国高三专题）已知三角形中，角所对的边分别为，且.(1)当，时，求的值；(2)判断的形状.例33（2022湖北高三开学考试）在中，内角满足.(1)求证：；(2)求最小值.例34（2022江苏南京高三开学考试）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求A，B；(2)若ABC为锐角三角形，求的取值范围.例35（2022全国高三专题）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量，则的最小值为（）ABCD例36（2022山西吕梁高三阶段）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则_例37（2022河南安阳高三阶段（文）在中，角所对的边分别为，若，且，则_核心考点六：
